Il existe une unique fonction définie et dérivable sur R (qui désigne l'ensemble des Réels) telle que f(x) = 1 et f' = f . Cette fonction est appelée fonction exponentielle et elle est notée exp.
On a donc [...]
[...] La fonction exponentielle I ) Définition propriétés 1. Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur R (qui désigne l'ensemble des Réels) telle que = 1 et f' = f . Cette fonction est appelée fonction exponentielle et elle est notée exp. On a donc : exp définie et dérivable sur R exp(0) = 1 exp'(x) = exp(x) pour tout réel x 2. Propriétés pour tout réel x , exp(x) > 0 exp est une fonction strictement croissante sur R comme exp'(x) = exp(x) et exp(x) > 0 alors exp'(x) > Le nombre e On pose exp(1) = e II ) Propriétés algébriques de la fonction exp 1. [...]
[...] Conséquences de la stricte croissance de exp : x = y e = e x > y e [...]
[...] Résoudre une telle équation sur un intervalle c'est trouver toutes les fonctions f définies et dérivables sur I vérifiant cette équation, c'est-à-dire telles que pour tout x f'(x) = a Les solutions dans R de l'équation y' = ay sont les fonctions f : x ke où k R b. Solution vérifiant une condition initiale Pour un couple de réels ; y l'équation différentielle y' = ay admet une unique solution f vérifiant f(x ) = y 2. Equation différentielle y'=ay + b a. Solution générale Les solutions dans R de l'équation différentielle y' = ay + b et b réels non nuls) sont les fonctions x ke b. [...]
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