Questions de cours et exercices de Khôlles de Maths

Résumé du document

Recueil de questions de cours et exercices donnés en Khôlle de Mathématiques de 1ère année de MPSI : révisions, analyse réelle et complexe, algèbre et géométrie, notions de base ...

Extraits

[...] Montrer qu'il existe deux tangentes D1 et D2 au cercle C issues du point A. Déterminer les coordonnées de leurs points de contact respectifs T1 et T2 avec le cercle C I. Montrer que, quels que soient ( b ) + ( ) 2 : a = b a = b = 1. b = a 1 II. Déterminer sup 2 + 2 x . 5. I. Soit a un réel strictement positif différent de 1. Résoudre l'inéquation log a2 ( x ) > log a3 ( 2 3x ) . [...]

[...] Décomposition en éléments simples de la fonction f : x II. Soit P un polynôme de ℝ [ X ] de degré n 1 possédant n racines distinctes non nulles xk pour k variant de 1 à n. Décomposition en éléments simples de En déduire XP ( X ) x P k k k 4 k 1 x . x I. Soit f : [ [ une application continue. Montrer que f admet un point fixe. III. Décomposition en éléments simples de la fonction f : x ( x x2 ) ℝ f ( x1 + x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) . [...]

[...] Montrer que f est bornée sur tout intervalle [ , A ℝ + I. Soit f une application C 1 de [ dans R telle que f = 0 et pour laquelle il existe a tel que f ) f ) [...]

[...] Formule du rang Formule du binôme de Newton pour les matrices Matrice de passage. Changement de base pour un vecteur Soit f une fonction continue sur un intervalle [ . Montrer que [ b ] , tel que f ( x ) dx = f ( c b a ) . b a 29. Exposer la méthode des rectangles et majorer l'erreur lorsque f est C Qu'appelle-t-on signature d'une permutation de Sn ? Quelle est la signature d'une transposition ? [...]

[...] II Ecrire la formule de Taylor en 0 pour la fonction cosinus. 2n Déterminer lim sin 2 (on utilisera, après l'avoir démontrée, la propriété : n k k 2n 1 lim = ln 2). n k k 28. Exercice 1 : Calcul de cos 4 t sin 3 tdt. Exercice 2 : Soit ( un ) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout n ℕ, un = sin ( un ) . Montrer que un 0. n α α Déterminer α ℤ tel que un un l . [...]