Les isométries vectorielles

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les isométries vectorielles destiné en particulier aux élèves des classes préparatoires. Le cours est traité en une quinzaine de pages et est suivi de nombreux exercices avec les solutions permettant ainsi de mettre en pratique les acquis. Document de 11000 mots au format Word.

Extraits

[...] Les vecteurs a et b ayant même norme, il est aisé de trouver une symétrie orthogonale S transformant b en a. Il suffit, a étant par hypothèse distinct de a n'a pas d'invariant non nul), de prendre la symétrie par rapport au plan P orthogonal à la différence b-a. De avec on tire en effet Considérons alors l'isométrie v=S u. Elle transforme a en S(b)=a. Son espace d'invariants est donc de dimension au moins 1. Etudions les possibilités déjà répertoriées. _ Si Dans ce cas v=IE. On en déduit ce qui est incompatible avec _ Si dim(I(v))=2. [...]

[...] A partir de la base B' on peut construire par le procédé de Schmidt une nouvelle base orthonormée de E que nous noterons B''=(e en). Appliquons la formule de transition : Mat(IE ,B',B)=Mat(IE,B'',B )(Mat(IE,B', B'') _ Mat(IE ,B',B) n'est autre que la matrice de passage de B vers B' , c'est à dire M. _ Mat(IE,B'',B est une matrice orthogonale car exprimant le passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée de E. _ Mat(IE,B', B'')=T est triangulaire supérieure. [...]

[...] Alors v serait une symétrie orthogonale S' par rapport à un plan Q de E. On en déduirait u=S S', c'est à dire soit l'identité ou une rotation à axe, ce qui est encore contradictoire avec _ Seul est donc possible le cas dim(I(v))=1. On en déduit que v est une rotation R d'axe ( et que par suite u apparaît comme la composée u=S R de la symétrie orthogonale par rapport à P avec la rotation R . Remarquons que l'axe de R ne peut être contenu dans le plan sinon tout vecteur de ( serait invariant par u. [...]

[...] Pour cette analyse nous emploierons une méthode de classification basée sur l'étude des invariants de l'isométrie u considérée et reprenant d'une certaine manière le schéma de démonstration du théorème de décomposition. Nous noterons tel que u(v)=v}=Ker(u-IE) le sous espace de ces vecteurs .invariants Isométries d'une droite. L'étude a en fait déjà été effectuée dans la démonstration du théorème précédent. On y a vu que et Isométries d'un plan vectoriel. Soit u une transformation orthogonale du plan Euclidien E. Raisonnons sur la dimension de l'espace des invariants I(u). [...]

[...] _ La restriction f de u à P est une isométrie de P. En effet : x ( ( v (H(H' x v ( ( v (H' ( Cette isométrie est positive, car si on choisit une base orthonormée directe B de E dont les n-2 premiers vecteurs sont dans H (H', la matrice de u dans cette base sera formée de deux blocs dont le premier d'ordre n-2 sera In-2 et le deuxième représentera f dans la base de P formée des deux derniers vecteurs de B . [...]