La géométrie dans l'espace - publié le 23/03/2009

Résumé du document

Une fonction f de deux variables se représente dans l'espace par une surface S d'équation z = f(x ; y) (...)

Extraits

[...] Géométrie dans l'espace On considère un repère orthonormé ; ; ; ) de l'espace. I. Rappel de formules Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; deux points de l'espace. le vecteur a pour coordonnées : (xB - xA ; yB yA ; zB zA) le milieu I de a pour coordonnées : I [ ; ; ] la longueur AB est : AB = Soit ; y ; et (x' ; y' ; z'), deux vecteurs de l'espace et sont colinéaires si et seulement si (ssi) il existe un réel k tel que = k ou = k et sont orthogonaux ssi xx'+ yy' + zz' = 0 II. [...]

[...] Tout plan parallèle à (x0y) admet une équation de la forme z = constante. Le plan (yOz) a pour équation x=0. Tout plan parallèle à (y0z) admet une équation de la forme x = constante. Le plan (xOz) a pour équation y=0. Tout plan parallèle à (x0z) admet une équation de la forme y = constante. Exemple Soit A ; 0 ; B ; 1 ; et C ; 1 ; ( Déterminer une équation du plan ABC. [...]

[...] Définition Une fonction f de deux variables se représente dans l'espace par une surface S d'équation z = f(x ; y). La section de cette surface par le plan d'équation z = k est la courbe de niveau k de la fonction f. Exemple On a représenté ci-dessous, la surface d'équation : z = 2x(y+1) pour x appartenant à ; 10] et y appartenant à [ 0 ; 12] Les courbes de niveau z = pour k variant de 50 à 300 par pas de 50 sont les courbes frontalières entre les zones de couleurs différentes. [...]

[...] Equation de droites L'intersection de deux plans non parallèles est une droite. Une droite admet pour système d'équation : Ces deux équations étant les équations de deux plans Axe est l'intersection du plan (x0y) et du plan (x0z) : Axe est l'intersection des plan (x0y) et (y0z) : Axe est l'intersection des plans (y0z) et (x0z) : IV. Fonction à deux variables Définition Soit I et j deux intervalles. Si pour tout couple ; avec x appartenant à I et y appartenant à on associe un réel alors on définit une fonction f de deux variables x et y. [...]