La géométrie analytique

Résumé du document

Cours de mathématiques portant sur la géométrie analytique destiné en particulier aux élèves des classes préparatoires, et permettant de comprendre un chapitre pas évident. Le cours est traité en une vingtaine de pages et est ensuite illustré par un grand nombre d'exercices suivis par leur correction. Document de 11500 mots au format Word.

Extraits

[...] La section de la sphère par P est dans ce cas le cercle de ce plan de centre H et de rayon . Intersection de deux sphères. Considérons deux sphères S et S' de E définies par les équations cartésiennes respectives : Les points communs à S et S' sont ceux dont les coordonnées sont solutions du système formé par les deux équations précédentes. Or on obtient un système équivalent en gardant la première et en soustrayant celle ci à la deuxième. [...]

[...] Le triplet (u'-u, v'-v, w'-w) est alors non identiquement nul. La deuxième équation s'interprète alors comme celle d'un plan P et on est ramené au cas précédent de l'étude de la section de S par P. _ Si les sphères sont concentriques. La deuxième équation ne sera jamais vérifiée si ( (('. Il s'agît du cas où les rayons diffèrent et on aura bien sûr alors S (S'= ( Par contre si les rayons sont identiques, le système se résume à l'équation de S. Ainsi S=S' et S'(S=S. [...]

[...] Autrement dit les points de C sont dans la bande du plan P délimités par les droites D1 et D2 parallèles à D et situées à la distance 3 de celle ci, d'équations respectives : dans le repère ; , _ Etudions les points M de C situés dans la bande délimitée par D et D1. (Ceci pouvant se traduire analytiquement : Si on note H1 la projection orthogonale de M sur D1, il est clair que MH=H1H-MH représente en fait la distance MH1 puisque M appartient au segment d'extrémités H et H1. La relation de définition s'écrit alors dans ce cas : MF=2MH1. Sous cette forme on reconnaît l'équation d'une hyperbole H1 de foyer de directrice D1 et d'excentricité 2. [...]

[...] Le seul problème est pour mais l'équation donne alors dont on tire les valeurs x=1 et y=2. On obtient encore un point du cône : son sommet S Les points de l'ellipse E peuvent être paramétrés par , avec Les points M de la surface cylindrique S appartenant à la génératrice passant par le point P précédent et dirigée par + sont repérés par : , avec t décrivant R. On en déduit la représentation de S : De on déduit alors : Réciproquement, tout point satisfaisant à cette équation est bien un point de S obtenu pour t=z et ( défini par les formules ci dessus exprimant le couple La distance de à la droite passant par O et dirigée par = + + est obtenue par : La distance de ce même point au plan P(O ; , d'équation z=0 est : MK= . [...]

[...] On parlera donc pour les coniques à centre, non pas d'un mais de deux foyers F et F', symétriques par rapport au centre O de la conique et des directrices associées respectives D et D' homologues dans cette même symétrie. Il importe de savoir retrouver la position de ces éléments géométriques fondamentaux à partir de l'équation réduite. Cela revient à positionner F et K à partir des sommets B. Pour cela écrivons vu la définition barycentrique des sommets : et On en déduit aussitôt par addition et soustraction respectives : Notons alors c la distance commune des deux foyers au centre : c=OF=OF'. [...]