Les fractions rationnelles

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les fractions rationnelles destiné en particuliers aux élèves des classes préparatoires. Le cours est présenté en une dizaine de pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices accompagnés des corrections permettant ainsi une mise en pratique des acquis.

Extraits

[...] La partie entière est nulle. D'où la décomposition dans : ; Après calculs et simplifications on trouve Ainsi : La décomposition dans donnerait : 5. Les pôles sont les racines nièmes de l'unité : : avec n-1}. S'agissant de pôles simples et la partie entière étant nulle, la décomposition est évidente : . Les pôles sont ceux de la fraction précédente, presque tous simples, sauf 1 d'ordre de multiplicité 2 puisque La partie polaire relative à 1 sera donc Le résidu au pôle simple zk pour k sera Ainsi Il y a 2n+1 pôles simples définis par zk= avec .,2n}. [...]

[...] D'où l'expression de la somme des et ceci vu l'unicité de la décomposition d'une fraction donnée en éléments simples La partie entière est nulle puisque le degré de P est strictement inférieur à n. La partie polaire relative au pôle simple est égale à avec : . On en déduit : En particulier pour X=0 on obtient : . Décomposons alors : . On en déduit la relation suivante : Appliquons l'égalité précédente pour en , avec x choisi tel que Xn(1. [...]

[...] _ Le neutre pour l'addition est la fraction dite nulle, de représentant 1). _ La symétrique pour la somme de est la fraction - appelée opposée de F. _ Le neutre pour le produit est la fraction de représentant 1). _ La symétrique pour le produit de la fraction non nulle est la fraction appelée inverse de F et notée conformément aux notations multiplicatives usuelles. Plongement des polynômes dans le corps des fractions. Le corps que l'on vient de définir contient en fait une trace de l'Anneau des polynômes situé à la base de la construction. [...]

[...] Si on réunit ainsi deux à deux ces éléments associés on obtient des sommes du type : = avec P à coefficients réels (vu par exemple le développement des puissances suivant la formule du binôme), et trinôme du second degré à coefficients réels de discriminant strictement négatif. Ces éléments sont bien maintenant à coefficients réels mais ils ne sont pas ‘simples' car le degré du numérateur P peut être élevé. (Il est au plus égal à k et égal à k si le coefficient ( n'est pas imaginaire pur). Effectuons alors la division Euclidienne de P par T. [...]

[...] La seule valeur possible est donc qui sera effectivement racine double si ou encore si a3+2a²+a-4=0. Vu la factorisation évidente en il apparaît que 1 est la seule valeur réelle possible pour a. On a dans ce cas La décomposition de la fraction donnée, de pôle double 1 et pôle simple s'obtient facilement : 8. Une première division de X6 par donneX6=(X²+X+1)(X4-X3+X-1)+1 et conduit à l'apparition d'un premier élément simple : . Continuons en divisant X4-X3+X-1 par On obtient : 2X+1)+2X-2 et par suite : Enfin, de on déduit la forme ultime demandée : 9. [...]