Les coefficients trigonométriques de Fourier

Résumé du document

Exercice d'auteur avec correction détaillée de niveau relativement élevé. Cet exercice qui utilise les coefficients trigonométriques de Fourier et la notion de linéarité en algèbre (hors-programme des Lycées) ainsi que l'intégration, est particulièrement adapté aux élèves de terminale scientifique qui souhaitent s'engager en classe préparatoire aux grandes écoles d'ingénieurs.

Extraits

[...] Coefficients trigonométriques de Fourier On note C2pm l'ensemble des fonctions 2π périodiques, continues par morceaux sur R. π On considère les applications définies de la manière suivante : ℕ an : C2pm ℝ π f ℕ f ( x ) cos ( nx ) dx π∫π 1 π bn : C pm 2π f ( x ) sin ( nx ) dx π∫π f 1 π On a ainsi défini les coefficients trigonométriques de Fourier. NB : On pourrait aussi définir les coefficients exponentiels de Fourier dont nous ne nous servirons pas ici : ℤ cn : C2pm ℂ π f f ( e π∫π 1 π inx dx Montrer que, pour tout n , an et bn sont linéaires. [...]

[...] Correction Soient n ℕ et ( f , g , λ ) ( C2pm ) ℝ, π 2 an ( λ f + g ) = ( λ f ( x ) + g ( x ) ) cos ( nx ) dx π∫π 1 π an ( λ f + g ) = λ an ( f ) + an ( g ) f ( x ) cos ( nx ) dx + g ( x ) cos ( nx ) dx π∫π π π 1 π 1 π Donc an est linéaire. On montre de la même manière que, pour tout n ℕ , bn est linéaire. [...]

[...] Soit n ℕ , y = Id* ( x ) bn ( f ) = = Id ( x ) sin ( nx ) dx π∫π * π x sin ( nx ) dx π∫π π 2 ( bn ( f ) = n , π π cos ( nx ) 1 cos ( nx ) = x dx π n n π π 1 = x cos ( nx ) + cos ( nx ) dx nπ π sin ( nx ) 1 (π cos ( nπ ) + π cos ( nπ ) ) + = nπ n 0 1 n n (cos ( nπ ) = cos ( nπ ) = ( ) = ( nπ ( ( ) (sin ( nπ ) = sin ( nπ ) = ) n + bn ( f ) . n n On conclut grâce au principe des gendarmes que lim bn ( f ) = 0. [...]

[...] En prenant λ = et g = 0 (fonction nulle), on en déduit que an et bn sont impaires en effet : Soit f C2pm , an ( f ) = an ( f ) . De même pour bn . π Supposons que f est paire. Soit n π bn ( f ) = f ( x ) sin ( nx ) dx. Or sin est impaire et f est paire, donc x f ( x ) sin ( nx ) est impaire. Or l'intégrale d'une π fonction impaire sur un intervalle centré en 0 est nulle. Ce qui prouve que : bn ( f ) = 0. [...]