Les fonctions de la variable complexe

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Toute fonction "fabriquée" avec des fonctions continues et les opérations addition, multiplication, division, composition, est encore continue (là où elle est définie).
Exemple. Les fonctions polynômes sont continues (...)

Extraits

[...] Soit f une fonction de la variable complexe, et C un chemin. Introduisons les parties r´eelle et imaginaire de f not´ees P et Q. f + iy) = P + iQ(x, Alors, l'int´ Zegrale de f leZlong de C peut aussi s'´ecrire `aZl'aide de deux int´egrales curvilignes : f (z)dz = P y)dx y)dy + i y)dx + P y)dy. C C C emonstration. Introduisons parties r´eelle et imaginaire de γ. Soit γ(t) = α(t) + iβ(t). Z Z t1 On calcule : f (z)dz = f γ(t) γ 0 (t)dt = C t0 Z t1 P + iQ(α(t), (α0 + iβ 0 = Zt0t1 P β(t))α β(t))β + i . [...]

[...] Ces conditions sont difficiles ´enoncer. Disons en quelques mots qu'il ne faut pas repasser sur le chemin ou sur un morceau du chemin plusieurs fois. Z dz Exemple. Prenons pour C le cercle de rayon centr´e l'origine et consid´erons , C z le cercle ´etant parcouru dans le sens direct. Choisissons de param´etrer C avec γ(t) = eit , avec t parcourant 2π]. Nous obtenons Z dz = 2πi. C z Mais si il nous avait pris l'id´ee de choisir l'intervalle 4π], alors on ferait deux tours au lieu d'un, et on trouverait le double ! [...]

[...] Le r´esidu de cette fraction en i est : . On en d´eduit = π 2i z i 2i z + i 2i t + 1 Z dt 1 Exemple. Evaluons aussi . La fraction 2 se d´ecompose + 1)2 + + . Le r´esidu de cette fraction en i + 4 4i z i 4 + 4i z + i Z π 1 dt = . est : . On en d´eduit 4i 2 + Z π dt Exercice. [...]

[...] Soit f une fonction de la variable complexe d´efinie et holomorphe sur un domaine D ouvert et simplement connexe. Soit C un chemin ferm´e contenu dans D. Alors Z f (z)dz = 0. C Explications pour : ”Ouvert, connexe et simplement connexe”. Il faut se contenter d'explications grossi`eres. Un ouvert est une partie D de C telle que pour tout z appartenant il existe un disque de centre z ouvert (et non vide) contenu dans D. Un ouvert connexe est un ouvert qui n'est pas r´eunion (disjointe) de deux ouverts. [...]

[...] efinition d'une limite. Soit f une fonction de la variable complexe. Soit ` un nombre complexe. On dit que ` est la limite de f lorsque z tend vers z0 si : lim f ` = 0. On ´ecrit alors : lim f = Rappel. La notation z d´esigne le module du nombre complexe z. Remarque. Cette d´efinition rattache donc l'´etude la notion de limite pour les variables complexes, la notion de limite habituelle (avec des fonctions de la variable r´eelle). [...]