L'étude des fonctions

Résumé du document

Document proposant un rappel de cours sur les fonctions (propriétés générales et éléments caractéristiques) ainsi qu'une étude des fonctions de référence puis la présentation de trois méthodes pour étudier des fonctions mathématiques (recommandé pour les niveaux bac pro et secondes).

Extraits

[...] Eléments caractéristiques d'une fonction On a pris l'habitude de décrire une fonction par quelques-unes de ses propriétés. Très utiles, elles facilitent, en particulier, la représentation graphique d'une fonction. On appellera D l'ensemble de définition de la fonction (c'est-à-dire l'ensemble des x tels que existe). a. Représentation graphique On appelle représentation graphique d'une fonction la courbe reliant tous les points ; pour tout x appartenant à l'ensemble de définition D. Dans la pratique, il est impossible de placer tous les points d'un ensemble de définition sur un graphique. [...]

[...] De plus, on se souviendra que la représentation graphique de cette fonction est la première bissectrice du plan, c'est-à-dire la diagonale du premier quart de plan. On remarquera que cette fonction est impaire. Tableau des variations : Représentation graphique : c. Autrement appelée fonction carrée la fonction définie par est une fonction paire, décroissante sur ; et croissante sur ; Pour représenter cette fonction, il faudra bien se souvenir de son tableau des variations (voir ci-après) et il faudra calculer quelques points de la courbe pour obtenir un graphique relativement précis. Tableau des variations : Représentation graphique: d. [...]

[...] Pour bien organiser les calculs, il peut être utile de recueillir les résultats dans un tableau. Exemple : Soit la fonction f définie sur IR par : . Représentons la fonction f. Représentation graphique : b. Monotonie Lorsqu'une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle, on dit qu'elle est monotone (attention, elle est soit croissante, soit décroissante, elle ne peut pas faire l'un puis l'autre, etc.). Typiquement, une fonction est croissante lorsque sa courbe représentative monte sur le dessin (c'est-à-dire , pour tous x et y de D). [...]

[...] Prenons l'exemple de la fonction définie sur IR par : Les étapes à suivre sont toujours les mêmes : i. Déterminer la fonction de référence à la base de la fonction à étudier (ici et dessiner son tableau des variations. ii. Construire la fonction à étudier en multipliant par un coefficient ou en ajoutant un réel (ici on multiplie par et ensuite on ajoute iii. Bien respecter l'ordre des opérations jusqu'à obtenir la fonction voulue (attention, si on ajoute avant de multiplier par on obtient la fonction Les règles à suivre : - Si on multiplie par un nombre positif, le sens des flèches est inchangé. [...]

[...] Tableau des variations : Représentation graphique : e. Autrement appelée fonction racine carrée la fonction définie par est croissante sur ; Elle a la particularité de n'être définie que pour les valeurs de x positives (il est impossible de calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif). Tableau des variations : Représentation graphique : f. Autrement appelée fonction inverse la fonction définie par est impaire et décroissante sur IR* (l'ensemble des valeurs réelles de x sauf car il est impossible de diviser par 0). [...]