Cours de Terminale S : Fonctions et dérivations

Résumé du document

Chapitre 1 du cours de Terminale S, programme obligatoire. Cours clair et concis de 5 pages, avec des exemples, et avec tous les théorèmes à savoir sur les fonctions et dérivations. Une synthèse utile pour le bac, ou pour reprendre un chapitre mal compris, ou incomplet.

Extraits

[...] Un majorant est en fait un nombre plus grand ou égal au maximum Parité d'une fonction Soit f : I x f f est une fonction paire si les deux conditions suivantes sont vérifiées pour tout x x x f est une fonction impaire si les deux conditions suivantes sont vérifiées pour tout x : x Propriétés géométriques : Dans un repère orthogonal , i , , si une fonction symétrique par rapport à l'axe OJ . Dans un repère orthogonal , i , , si une fonction symétrique par rapport à O . f est paire sur C f est f est impaire sur C f est II. Opérations sur les fonctions 1. Égalité de deux fonctions On dit que si et seulement si (ssi) : { Soit f : D f ℝ Df =Dg Pour tout x , f 2. [...]

[...] La composition Soit l'ensemble défini par les x D g et les x tels que g D f : { De même, la composée de f par se note x tel que : x f et les x / f x g . En général, g f f g . g g La composée de g par est la fonction tel que pour tout x ' , est définie par : f g x f g f , elle est définie sur qui est l'ensemble des III. Fonctions de référence Une nouvelle fonction de référence : partie entière. [...]

[...] Nom et parité Expression Variations f : x b=0 : fonction linéaire -parité : impaire f croissante f décroissante : fonction affine -parité : aucune f : x Fonction carrée Parité : paire Fonction inverse Parité : impaire Fonction racine carrée Parité : aucune Fonction cube Parité : impaire x ; 0 [ f décroissante x 0 [ f croissante x f décroissante Valeur interdite en x=0 x 0 f décroissante x 0 [ f croissante x [ f croissante f : 1 x f : x f : x x3 IV. Majorer, minorer, borner une fonction Soit I f et I D g . [...]

[...] Lorsque ce taux de variation admet une limite à droite et une limite à gauche, on dit que f est dérivable à droite de x à gauche de x 0 mais pas en x Interprétation graphique du nombre dérivé: Si f est dérivable en x le nombre dérivé f ' x , la représentation graphique dans un repère orthogonal admet au point M 0 x f x0 une tangente dont le coefficient directeur est f ' x et donc l'équation cartésienne est : f ' x 0 0 f x 0 Remarque : Si le taux de variation admet une limite infinie en x la fonction n'est pas dérivable en x 0 mais la tangente est verticale Approximation affine d'une fonction Théorème: Si est la meilleure approximation affine de f pour x suffisamment voisin de x f est dérivable en x de nombre dérivé f ' x , alors, g f ' x 0 0 f x 0 3. Fonction dérivée On dit qu'une fonction définie sur un intervalle ouvert I est dérivable sur ssi elle est dérivable en tout point I. On appelle alors f ' , la fonction qui à tout x , associe son nombre dérivé. On dit qu'une fonction définie sur un intervalle [ a ] est dérivable sur [ a ] ssi, elle est dérivable sur ] a [ , et dérivable à droite de a et dérivable à gauche de a . [...]

[...] On dit que f est inférieure à g sur ssi pour tout x , f g x . On dit alors que f minore ou que g majore f. Soit I f . On dit que f est bornée sur ssi il existe deux réels m et M tels que pour tout x I , f x . Exemples : Les fonctions sin et cos sont des fonctions bornée sur ℝ . V. [...]