Les fonctions complexes

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les fonctions complexes destiné notamment aux élèves des classes préparatoires. Le cours est traité en un peu plus de dix pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices sur le sujet accompagnés des solutions. Document de 8300 mots au format Word.

Extraits

[...] Pour cela il suffit de remarquer que pour tout n : 0 ( On en déduit par itérations l'encadrement : 0 ( vn-un , suffisant pour conclure De proche en proche on montre facilement que tous les termes sont strictement positifs. On en déduit que la suite est strictement croissante, puisque : un+1-un= Supposons la convergente vers un réel l. Celui ci sera supérieur ou égal à u0=1 d'après la croissance. En passant à la limite dans l'égalité de définition on en déduit l'égalité contradictoire . [...]

[...] Etudier les suites définies par les formules : 13. On considère la suite de terme source (avec ( et [ ) et définie de proche en proche par la formule itérative : Indiquer une construction géométrique simple de ces termes dans le plan complexe. Montrer que la suite converge et exprimer sa limite en fonction de ( et ( Il est conseillé d'utiliser la représentation géométrique) 14. La suite de terme source z0 et définie de proche en proche par avec a complexe non nul fixé est elle convergente ? [...]

[...] En déduire une formule explicitant xn en fonction de n. Déterminer la valeur exacte de Utiliser le développement de ex en 7. Soit la suite de réels définie par un terme source donné x1 et Montrer que le terme général xn est équivalent à n en On considère la suite définie en tout n entier non nul par : Etudier son sens de variation. Montrer qu'il existe un entier K tel que : Déterminer 9. On désigne par f l'application de C vers C définie par : Montrer que f possède un point fixe et un seul, que l'on notera l. [...]

[...] Rappelons que le module d'un complexe quelconque est supérieur à la valeur absolue de sa partie réelle et de sa partie imaginaire ( On peut donc écrire les majorations : Puisque , on en déduit que On utilisera donc indifféremment le schéma cartésien ou le schéma polaire pour vérifier qu'une fonction donnée admet pour limite un complexe l en x0. On choisira bien sûr le mode donnant lieu aux calculs les plus simples. Par exemple, pour tout complexe q de module strictement inférieur à la convergence vers 0 de la suite des puissances de q se déduit immédiatement de la relation , couplée avec le résultat concernant les puissances d'un réel de 1[. Notons que la notion de limite infinie n'apparaît pas dans cette généralisation. Les éléments a et b sont supposés finis. Généralisation des résultats classiques. [...]

[...] (Les vérifications des stabilités sont évidentes). Soit alors une suite de terme général zn vérifiant Pour tout couple de complexes, la suite de terme général ) est, d'après ce qui précède, également définie de proche en proche par Si on parvient à choisir ( et ( de façon que d0=d1=0, la suite n (dn sera identiquement nulle, et par suite zn coïncidera pour tout n avec . Reste à résoudre : est supposé appartenir à ) Pour le cas particulier où z0=1 et on obtient dans ce cas zn se résume à et n'est pas convergente. [...]