Les fonctions circulaires et hyperboliques - publié le 03/06/2006

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les fonctions circulaires et hyperboliques pour les élèves des classes préparatoires. Le cours est traité en une dizaine de pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices accompagnés des solutions pour mettre en application les concepts du cours. Document de 4500 mots au format Word.

Extraits

[...] y désignant un paramètre réel, discuter et résoudre les équations suivantes d'inconnue réelle x : sh(x)=y ch(x)=y th(x)=y Représenter la courbe plane d'équation cartésienne cos(y)ch(x)=1, dans le domaine plan défini par : et x ( Discuter et résoudre l'équation d'inconnue réelle x et de paramètre réel a suivante : cos(a)ch(x)-sin(a)sh(x)=cos(a) 19. Exprimer sh(2x), ch(2x), th(2x) en fonction des lignes hyperboliques de x seul Pour tout réel x on pose t=th(x). Exprimer th(2x), ch(2x) et sh(2x) en fonction de t. Solutions des exercices de trigonométrie Equation classique équivalente à ou encore à l'équation réduite . [...]

[...] Relations premières. Rapports entre sin, cos, tan. Rappelons que les fonctions cosinus et sinus définies sur R sont reliées par l'identité fondamentale : La fonction tangente est définie sur ; k } par En divisant par la première identité mentionnée on en déduit l'égalité classique reliant directement cosinus et tangente : Symétries principales. Le tableau suivant résume les conséquences sur les fonctions trigonométriques usuelles des symétries usuelles sur le cercle unité. On les retrouve facilement à l'aide d'un schéma. Equations de base. [...]

[...] Apparaît alors la formule d'addition pour la tangente. Les formules de la colonne de droite se déduisent des précédentes en faisant jouer le caractère pair de la fonction cosinus et impair des fonctions sinus et tangente. En prenant a=b=x dans l'étude précédente on obtient le cas particulier des formules dites de l'arc double : Formules de linéarisation et de factorisation. Linéarisation. Elles s'obtiennent immédiatement par sommes et différences convenables des formules d'addition précédentes. Factorisation. Tout couple de réels peut être considéré comme représentant la somme et la différence respective de deux réels a et b. [...]

[...] On peut par exemple effectuer le changement de variable avec [ L'égalité proposée se traduit alors sous la forme Arccos(-cos(2())=(- 2Arctan(tan(()) Or et 0 ( . On en déduit Arccos(-cos(2())=(- Ceci est bien aussi la valeur du deuxième membre, car ( est élément de [ 9. D'après les propriétés de l'exponentielle on peut d'abord écrire : S1= On termine avec la formule condensant la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique : Si la somme S2 se résume à .+1=n. Si x est non nul on peut écrire : Pour x nul, S3 prend la valeur 0. [...]

[...] Pour que soit défini il est d'abord nécessaire que x (0. Cette condition s'avère en fait suffisante car : - De même pour x on a l'équivalence - Ainsi la fonction f peut être étudiée sur l'intervalle Etudions sa dérivée. Sur on a facilement Il vient alors après simplifications et grâce aux théorèmes de dérivée d'une composée et d'une somme, la relation valable sur : Ainsi sur : Et sur : On en déduit facilement vu l'étude des limites aux points critiques 0 et l'explicitation complète de f : Sur : f(x)=4Arctan(x) et sur : . [...]