Les fonctions de deux variables

Résumé du document

Chapitre d'un cours de mathématiques destiné notamment aux étudiants de classes préparatoires sur les fonctions de deux variables. Le cours en lui-même est réalisé en une dizaine de pages et est suivi par un ensemble d'exercices accompagnés de leur solution permettant la mise en pratique le cours. Document de 6800 mots.

Extraits

[...] La première vision d'un tel intervalle est souvent liée à la relation d'ordre sur R (ensemble des réels strictement compris entre les bornes ( et a Il est plus intéressant de faire intervenir la notion de distance et de considérer I comme l'ensemble des réels x tels que On a vu en effet que l'approche à ( prés est une pratique incontournable dans les phénomènes de convergence. Cette vision permet de généraliser facilement ce concept de voisinage dans tout espace E où l'on peut mesurer les écarts entre éléments grâce à une fonction 'distance' satisfaisant aux règles suivantes, inspirées des propriétés de la distance géométrique usuelle : _ Propriété de séparation. ( ( E(E ( 0 et ( x=y. _ Propriété de symétrie. ( ( E(E x). [...]

[...] La fonction g est donc bien continue en a. Pour l'existence de la dérivée partielle suivant la première variable en étudions le comportement de x à l'origine. Remarquons que l'on peut écrire le numérateur comme : = Or f étant de classe C1 sur on peut écrire le développement suivant à l'origine : f(0)=f'(0)t+o(t). On sait que par intégration, si G désigne une primitive de t ( nulle en on obtiendra : , avec ( fonction de limite nulle en 0. [...]

[...] Il vient après simplifications l'expression réduite suivante : Sous cette dernière forme, il est clair que est supérieur ou égal à 1 pour tout couple de La fonction f admet bien un minimum égal à 1 au point La fonction f est de classe C1 sur l'ouvert ses dérivées partielles sur O étant données par les formules : . Ce couple de valeurs ne peut être identiquement nul que si y=0 et ln(x)[ln(x)+2]=0. Il y a donc deux extrémums potentiels en , tel que f(a1)=0 et en avec f(a2)=4e-2. _ étant de manière évidente du signe de x (produit de x par une somme de carrés), la valeur f(a1)=0 est un minimum pour la fonction atteint en a1. _ Pour l'étude locale en a2, examinons d'abord le comportement de f le long de parallèles aux axes principaux . [...]

[...] Peut on choisir f de façon que ? Simplifier le Laplacien de g défini par 14. On considère une fonction g de classe C1 sur l'ouvert On lui associe la fonction f définie sur l'ouvert R par : Exprimer les dérivées partielles d'ordre 1 de f en fonction de celles de g. Utiliser le calcul précédent pour construire des fonctions satisfaisant à la relation différentielle : 15. Soit f une fonction de variable et à valeurs réelles, de classe C2 sur l'intervalle 1[. [...]

[...] La fonction f n'aura donc pas de limite à l'origine. _ Enfin, si p+q ( en se déplaçant sur les demi- droites définies ci dessus, et puisque l'exposant de ( est maintenant strictement négatif, il s'ensuit que la restriction de f à ces chemins tendront vers + ( si ( vers - ( si ( 0 et vers 0 si La fonction f n'aura donc pas non plus dans ce cas de limite à l'origine Examinons le comportement de f au voisinage d'un point y0) de l'axe des ordonnées. [...]