Cours de Terminale S : La fonction exponentielle

Résumé du document

Cours complet et exhaustif de Terminale S portant sur la fonction exponentielle. Document comportant toutes les démonstrations au programme et exigibles au baccalauréat sur la fonction exponentielle, agrémenté de schémas et de graphiques pour mieux comprendre. Idéal pour réviser le baccalauréat ou pour approfondir le cours, ou encore revoir certains points délicats de la leçon.

Extraits

[...] Soit y ' =ky . g f exp Montrons que On a : g est constante. f x est dérivable sur ℝ . exp et x∈ℝ , est dérivable sur g ' : g ' x ℝ . Calculons f ' x kx f .exp ' = = k.f x exp f x k.exp 0 g ' est la fonction constante nulle sur On la note A . Alors, ℝ , donc g est une fonction constante sur ℝ . [...]

[...] Quelques limites particulières lim 0 e x x Démonstration : On sait que x x . e Le nombre dérivé en 0 de la fonction exponentielle est donc Par définition du nombre dérivé : lim e x x ex x x lim Démonstration : x∈ℝ , e x donc Posons On a : X e x . X : 2 X 2 Élevons au carré : 2 soit : X 4 donc : 2X 2 4 e X 4 et, en divisant par X : eX X x 4 Or X lim X d'où, par comparaison ex x x lim lim xe x x Démonstration : ex On a lim . [...]

[...] Valeur de la fonction exponentielle dans les ensembles de nombres 1. Dans ℕ Propriété : n∈ℕ ,exp Démonstration par récurrence : Initialisation : Au premier rang, exp et donc exp L'égalité est vraie au rang n=0 Hérédité : On va supposer que Soit exp et on montre que exp k , d'après la relation fonctionnelle de l'exponentielle, on a : exp k ×exp Si l'égalité est vraie pour d'après notre hypothèse de récurrence k , elle est vraie pour k Conclusion : n∈ℕ ,exp 2. [...]

[...] Démonstration : Soit ℝ . f : x A. exp où A∈ℝ , k . f est définie sur ℝ et c'est une composée x x et de x kx . Or, x kx est une fonction linéaire dérivable sur ℝ et à valeurs dans ℝ . Et, x x est dérivable sur x ℝ (d'après sa définition même) et à valeurs dans ℝ . est dérivable sur Donc, la composée ℝ . Maintenant, montrons que Pour f ' =kf sur ℝ . [...]

[...] CHAPITRE 4 : EXPONENTIELLE Cours Terminale S I. Fonction vérifiant y ' =ky , où 1. Cas particulier y ' = y Théorème : L'équation différentielle k y ' = y , admet une infinité de solutions définies sur ℝ . On appelle fonction exponentielle l'unique fonction solution sur ℝ de l'équation différentielle y ' = y , telle que y Cette fonction se note " exp Démonstration de l'unicité de la fonction " exp " : Si g est une fonction dérivable sur ℝ , telle que g et g et f , une fonction dérivable sur ℝ telle que f ' = f et f on définit la fonction h par : h x On suppose Dérivons h : f h dérivable sur ℝ . [...]