Les intégrales doubles

Yasser E.

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Les intégrales doubles

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Exercices corrigés de Mathématiques sur les intégrales doubles.

Sommaire

Introduction

I) Intégrale sur un pavé compact

II) Intégrale d'une fonction continue sur un produit d'intervalles

A. Cas d'une fonction positive
B. Cas d'une fonction à valeurs complexes

III) Intégrale sur une partie simple du plan

A. Proposition et définition
B. Extension au cas où A est une partie simple (réunion finie de parties élémentaires d'intérieurs deux à deux disjoints)
C. Formule de changement de variables

IV) Intégrales curvilignes

A. Définition
B. Cas d'une forme différentielle exacte
C. Formule de Green-Riemann

V) Exercices

VI) Réponses

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Extraits

[...] Démonstration : Pour tout segment J = [ b ] Ì I et tout segment J = [ Ì I En notant g : x a ò f ( , òò J b f = òò a b æ ö f ( y ) dy dx ò ç ò f ( dx = ò g ò g a è ø a I b Remarque : On a bien sur un résultat équivalent en «échangeant les rôles de x et y. Exercices sur les intégrales doubles Page SPÉ MP* EXERCICES Proposition : Soit f continue et positive sur I I . [...]

[...] òò Il est clair que si f est intégrable sur I I elle l'est sur I1 I et que f I1 I òò f . I (Si J = [ b ] est un segment inclus dans I1 et J = [ est un segment inclus dans I alors J est inclus dans I et J dans I et donc òò f J òò f ce qui donne f intégrable I1 I et I òò I1 I f òò f ) I Si f est intégrable sur I1 I , Soit J = [ b ] un segment inclus dans I et J = [ un segment inclus dans I . [...]

[...] Page 3 Exercices sur les intégrales doubles EXERCICES SPÉ MP* Proposition : Soit f une fonction continue positive et intégrable sur I I . Soit J n une suite croissante de segments de I de réunion I et J une suite croissante de segments de I de réunion I . Alors òò f = lim n I òò f. J n J Démonstration : On pose J n = [ an , bn ] ( an [...]

[...] SPÉ MP* EXERCICES Intégrales Doubles I Intégrale sur un pavé compact. Proposition : Si f est continue sur [ b ] [ d ] alors b d òò a c d b f ( y ) dy dx = ò ò f ( y ) dx dy . c a La valeur commune de ces deux intégrales est par définition l'intégrale double òò f [ a , d ] Démonstration : d Propriété : Si f est continue sur [ b ] [ d ] alors g : x a ò f ( y ) dy est continue sur [ b ] . [...]

[...] De plus kn j avec j continue par morceaux intégrable sur [ b ] . Enfin lim in ( x ) = n Mais comme ò lim kn ( x ) = n ò ò f ( y ) dy - ò f ( y ) dy = ò f ( y ) dy + ò f ( y ) dy f ( y ) dy + ò f ( y ) dy ò f ( y ) dy + ò f ( y ) dy on a f ( y ) dy - ò f ( y ) dy = j ( x ) avec j continue par morceaux sur [ b ] . [...]

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