Les intégrales doubles

Résumé du document

Exercices corrigés de Mathématiques sur les intégrales doubles.

Extraits

[...] Démonstration : Pour tout segment J = [ b ] Ì I et tout segment J = [ Ì I En notant g : x a ò f ( , òò J b f = òò a b æ ö f ( y ) dy dx ò ç ò f ( dx = ò g ò g a è ø a I b Remarque : On a bien sur un résultat équivalent en «échangeant les rôles de x et y. Exercices sur les intégrales doubles Page SPÉ MP* EXERCICES Proposition : Soit f continue et positive sur I I . [...]

[...] òò Il est clair que si f est intégrable sur I I elle l'est sur I1 I et que f I1 I òò f . I (Si J = [ b ] est un segment inclus dans I1 et J = [ est un segment inclus dans I alors J est inclus dans I et J dans I et donc òò f J òò f ce qui donne f intégrable I1 I et I òò I1 I f òò f ) I Si f est intégrable sur I1 I , Soit J = [ b ] un segment inclus dans I et J = [ un segment inclus dans I . [...]

[...] Page 3 Exercices sur les intégrales doubles EXERCICES SPÉ MP* Proposition : Soit f une fonction continue positive et intégrable sur I I . Soit J n une suite croissante de segments de I de réunion I et J une suite croissante de segments de I de réunion I . Alors òò f = lim n I òò f. J n J Démonstration : On pose J n = [ an , bn ] ( an [...]

[...] SPÉ MP* EXERCICES Intégrales Doubles I Intégrale sur un pavé compact. Proposition : Si f est continue sur [ b ] [ d ] alors b d òò a c d b f ( y ) dy dx = ò ò f ( y ) dx dy . c a La valeur commune de ces deux intégrales est par définition l'intégrale double òò f [ a , d ] Démonstration : d Propriété : Si f est continue sur [ b ] [ d ] alors g : x a ò f ( y ) dy est continue sur [ b ] . [...]

[...] De plus kn j avec j continue par morceaux intégrable sur [ b ] . Enfin lim in ( x ) = n Mais comme ò lim kn ( x ) = n ò ò f ( y ) dy - ò f ( y ) dy = ò f ( y ) dy + ò f ( y ) dy f ( y ) dy + ò f ( y ) dy ò f ( y ) dy + ò f ( y ) dy on a f ( y ) dy - ò f ( y ) dy = j ( x ) avec j continue par morceaux sur [ b ] . [...]