Les espaces euclidiens

Résumé du document

Grâce à l'intervention des bases, on peut s'attendre à une pratique analytique du produit scalaire, similaire à celle employée pour les vecteurs de la géométrie plane ou de l'espace à 3 dimensions. On va voir que les matrices jouent également un rôle de synthèse fondamental, ce sera le premier point d'étude de ce paragraphe ...

Extraits

[...] La stricte positivité de ( est donc bien assurée. On obtient facilement la matrice de Gram de la base canonique B pour ce produit scalaire : . On en déduit immédiatement une base orthonormée de E en normant les vecteurs X et ce qui nous donne : B '=( S'il existe un tel produit scalaire la matrice de Gram de B pour celui ci doit être égale à et le produit de u=xe1+ye2+ze3 par v=x'e1+y'e2+z'e3 ne peut être défini que par : En regroupant : ((u,v)=xx'+2yy'+6zz'-(xy'+x'y)+2(xz'+x'z)-3(yz'+y'z) La symétrie et la bilinéarité de ( évaluée par la formule ci dessus sont évidentes. [...]

[...] Montrer que ( est un produit scalaire sur E E désigne un espace Euclidien. A tout système .,up) de vecteurs de E on associe la matrice carrée d'ordre p (dite de Gram ) dont le terme générique est ( ui.uj . On la notera Gram(S), c'est le tableau des produits scalaires deux à deux des vecteurs de S. On désignera par le déterminant de cette matrice. Montrer que S est lié ( G(S)=0. Montrer que rang(S)=rang( Gram(S)) Montrer que est inchangé si on ajoute à un des vecteurs de S une combinaison linéaire des autres vecteurs de ce système. [...]

[...] Les vecteurs de B étant tous supposés de norme on a pour i et donc . Raisonnons maintenant par récurrence sur la dimension. _ Pour si e2) désigne une base orthonormée de il suffira de choisir u1=e1 et u2 défini par u2= _ Supposons l'existence d'une telle base assurée pour tout espace Euclidien de dimension n donné ( 2 et examinons le cas d'un espace E de dimension n+1. Soit H un Hyperplan de E. Par hypothèse de récurrence on peut y mettre en évidence une base un) satisfaisant aux contraintes imposées. [...]

[...] Préciser leur angle lorsque la réponse est négative Soit E un espace Euclidien quelconque. On note l'ensemble E privé du vecteur nul 0E. On considère l'application j de vers défini par : x Montrer que j est bijective et expliciter la réciproque j Montrer que pour tout couple : Soit a un vecteur donné de E et r un réel positif non nul. Etudier l'image par j de l'ensemble des vecteurs de situés à la distance r de a , c'est à dire tels que 14. [...]

[...] On en déduit les composantes sur u2) du projeté orthogonal , soient : On obtient en conclusion : 19. _ La bilinéarité de ( est ici évidente vu que u est un endomorphisme et d'après les propriétés du produit scalaire initial sur E. _ Pour la symétrie, utilisons la représentation matricielle. Si X et Y désignent les colonnes regroupant les composantes respectives dans la base orthonormée B des deux vecteurs x et on sait que sera représenté dans B par la colonne BX et que par suite ( sera l'unique coefficient de la matrice : tY.BX=tY tA.A.X. [...]