Les espaces affines

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les espaces affines destiné notamment aux élèves des classes préparatoires. Le document comporte à la fois le cours traité en une vingtaine de pages et un ensemble d'exercices accompagnés de leur correction permettant ainsi la mise en pratique des acquis. Document de 11500 mots.

Extraits

[...] (Car _ Les isométries vectorielles conservant l'orthogonalité, on en déduit facilement que toute isométrie affine transforme toujours deux variétés orthogonales en deux variétés images orthogonales entre elles. Classification des isométries en dimension Isométries d'une droite affine. Rappelons que le groupe orthogonal d'une droite vectorielle E est réduit à deux éléments, homothéties vectorielles de rapports respectifs 1 et _ L'identité u=IE engendre les translations., formant le groupe des déplacements de la droite. _ L'homothétie donne naissance aux homothéties ponctuelles de rapport appelées également symétries centrales. On notera SO l'application : M (M' tel que . Ces symétries centrales constituent les antidéplacements de la droite. [...]

[...] _ Barycentrage par bloc. Soit S 'un sous système de S correspondant à la zone d'indexation { avec p(n. Supposons que le barycentre H de S ' existe et soit connu. Le barycentre du système total S est alors le barycentre du système réduit obtenu en remplaçant les p premiers points par le point H affecté de la somme partielle s'=a1+ +ap . La relation définissant soit : se simplifie en effet grâce à la formule de réduction appliquée au système partiel S ', en : Terminons avec la définition de l'isobarycentre d'un ensemble fini de n points de E. [...]

[...] Etude des déplacements. Rappelons nous que le groupe des isométries positives est dans ce cas formé de l'identité et des rotations vectorielles autour d'un axe. L'identité nous donne comme toujours les translations. Soit f isométrie affine associée à la rotation d'axe orienté par et d'angle _ Supposons d'abord que f admette au moins un point fixe A. Tout point M de E sera alors transformé par f en M' tel que Pour préciser cette image, considérons le projeté orthogonal H de M sur la droite affine De la décomposition on déduit Avec rotation vectorielle d'angle ( dans le plan P=Vec( ) orienté par . [...]

[...] Examinons l'application affine f=Sn Sn-1 S2 S1. _ Toute symétrie centrale étant associée à l'homothétie vectorielle de rapport il s'ensuit que l'endomorphisme associé à la composée f sera l'homothétie vectorielle de rapport _ Le point A1 est transformé par S1 en A2, qui donne A3 par action de puis A4 en faisant jouer S3. Il est clair que le processus de composition se poursuit jusqu'à redonner le point d'origine A1 par action de la dernière symétrie Sn de la chaîne. [...]

[...] f étant supposée bijective, on sait que u est en fait un automorphisme de E et que l'application linéaire associée à la réciproque f n'est autre que la réciproque u Si on note ( le rapport de l'homothétie ponctuelle on sait que l'endomorphisme associé n'est autre que l'homothétie vectorielle de rapport ( c'est à dire (IE. _ D'après le théorème de composition, l'application g1=f h f est aussi affine, d'endomorphisme associé u-1 (IE 1 IE u=(IE . On se rappelle en effet que dans la K algèbre des endomorphismes de E les scalaires glissent dans les produits. [...]