Cours de Maths niveau Prépa sur les équations différentielles

Résumé du document

Cours de mathématiques niveau classes préparatoires première et deuxième années sur les équations différentielles. Celui-ci a été réalisé au format Acrobat Reader pour plus de clarté et comprend une série d'exercices corrigés pour mettre le cours en application.

Extraits

[...] = ( z 0 + λ = z0 .e Il s'ensuit que y est défini sur I par z.e On retrouve bien la structure commune à toutes les équations linéaires : a ( x ) dx + dx a ( x ) dx + λe a ( x ) dx Somme d'une solution particulière y0 définie par y0 = z0 .e quelconque λu de l'équation sans second membre. Remarque sur les courbes intégrales correspondantes. a ( x ) dx , avec une solution Si x1 désigne un élément donné de I et y1 un élément arbitraire de il existe une et une seule solution de prenant la valeur y1 en x1. En effet, avec les notations précédentes, la contrainte y(x1)=y1 est réalisée pour la seule valeur y y0 ( x1 ) . [...]

[...] _ Dans le premier cas il est clair en effet que les solutions définies sur I ne sont autres que les primitives de la fonction continue f sur cet intervalle. (Le terme ‘quadrature' est une appellation classique pour l'explicitation des primitives d'une fonction donnée ) Si x0 est un des éléments de les solutions seront définies par : x f )dt + λ x0 x 212 avec λ constante complexe arbitraire. _ Dans le deuxième cas, toute fonction à valeurs complexes de dérivée nulle sur un intervalle étant constante, les solutions seront donc les fonctions x ay(x) telles que pour tout x de I soit vérifiée la relation : , avec ici aussi λ constante complexe arbitraire. [...]

[...] l'équivalence immédiate : 2xy'+2y=xy3 2 x 3 + y 2 1 La fonction z définie comme z = est dérivable sur I suivant = 3 y L'équation proposée se ramène donc à l'équation linéaire d'inconnue z : -xz'+2z=x . Le coefficient x de z' ne s'annulant pas sur les solutions de l'équation sans second membre seront définies sur cet intervalle par : x a λe x dx 2 = λx avec λ constante réelle quelconque. Remarquons alors que la fonction identique sur x az0(x)=x vérifie de manière évidente l'équation en z. [...]

[...] Analysons les différentes étapes de cette résolution. Résolution de l'équation homogène associée : : a(x)y'+b(x)y= Commençons par mettre cette équation sous la forme équivalente : = x ) .y (La fonction a est supposée ne s'annulant pas sur l'intervalle I). Si on restreint la recherche aux solutions y ne s'annulant aussi en aucun des points de on x ) peut alors séparer les variables en divisant par ce qui donne : y a ( Réduisons encore l'étude en imposant des valeurs réelles à la fonction inconnue. [...]

[...] Définitions et notations premières. Soit n un entier non nul, D une partie du produit cartésien R×Cn+1 et F une application de D vers C. Résoudre l'équation différentielle : y' signifie déterminer toutes les fonctions y de variable réelle, à valeurs dans dérivables au moins à l'ordre n en tout point de leur ensemble de définition I et telles que pour tout x de I on ait : y'(x) L'entier n sera appelé ordre de l'équation C'est le plus grand indice de dérivée successive de la fonction y intervenant explicitement dans Remarquons que la variable est nécessairement réelle mais que pour les images nous considérons le cas le plus général de fonctions à valeurs dans C. [...]