Ensembles de nombres et intervalles réels

Résumé du document

Cours de mathématiques niveau seconde sur les ensembles de nombres et les intervalles réels, qui reprend également quelques généralités. Document de 4700 mots.

Extraits

[...] S'ils avaient été entre crochets, alors l'ensemble S aurait été l'intervalle fermé ; 1,5]. Tableaux de signe : 10.1 Définition: Dresser le tableau de signe d'une expression c'est dire pour quelles valeurs de est négative, nulle ou positive Propriétés: Un produit ou un quotient des deux nombres de même signe est toujours positif. Un produit ou un quotient de deux nombres de signe différent est toujours négatif Etude d'un tableau de signe: Dressons le tableau de signe de l'expression : = 8.x2 - 18 + 4.(2.x - se factorise en: = (2.x - 3).(12.x - Or les signes de 2.x - 3 et de 12.x - 6 dépendent des valeurs de x Le tableau de signe de 2.x - 3 s'établit comme suit : 2.x - 3 est: négatif lorsque x est inférieur à nul lorsque x est égale à 1,5 positif lorsque x est supérieur à De même le tableau de signe de 12.x - 6 est : On peut alors dresser le tableau de signe de : Commentons ce tableau : Quand x est inférieur à les deux binômes sont négatifs. [...]

[...] Autrement dit, résoudre cette inéquation, c'est savoir pour quelles valeurs de x l'expression est négative ou nulle (à cause de l'inférieur ou égal). Or cette question, nous l'avons déjà abordée en dressant le tableau de signe de l'expression A(x). D'après ce tableau, est négatif ou nul sur l'intervalle ; 1,5]. L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc cet intervalle. Relations ordre Définitions Dire que le réel b est supérieur au réel a signifie que la différence b a est positive. On note cette relation a a. [...]

[...] On ne peut pas considérer la racine d'un nombre négatif. En effet, un carré n'est jamais négatif Calcul de quelques racines carrées: Haut du formulaire La racine carrée de Bas du formulaire 6.3 Propriétés de la racine: Application de ces trois propriétés. Ces propriétés permettent de simplifier certaines expressions. A titre d'exemple, simplifions . La racine de 72 est donc égale à six fois celle de 2 ! 6.4 Simplification de certaines fractions comportant des radicaux. Certaines fractions comportant des racines au dénominateur peuvent être simplifiées. [...]

[...] Examinons les deux cas suivants : est un nombre réel comme les autres. Sauf à recourir à la calculatrice, il n'est guère commode d'en connaître une valeur approchée. Si 1,73 est une valeur approchée de , la division de 1 par 1,73 s'avère hasardeuse. Pour résoudre le problème, modifions l'écriture de . Ainsi : (Le numérateur et le dénominateur ont été multipliés par ) Une autre écriture de est /3. Diviser 1,71 par 3 est quand même plus accessible que celle de 1 par 1,71. [...]

[...] Aux infinis ( en - et + le crochet est toujours ouvert. Un crochet fermé est un crochet qui s'ouvre sur sa borne. Il indique qu'elle fait partie de l'intervalle. Un crochet qui n'est pas ouvert est nécessairement fermé. Dans la notation d'intervalle comme dans la représentation sur la droite réelle, un crochet ouvrant indique que la borne ne fait pas partie de l'intervalle alors qu'un crochet fermant l'y inclut. Rappels numériques. L'opposé d'un nombre a est le nombre qui additionné à a donne 0. En effet a + = 0. [...]