Les éléments de logique en Mathématiques

Résumé du document

Les opérations logiques

-Négation : P barre est vraie si P est fausse (P barre étant l'évènement contraire de P)
-Disjonction (P ou Q, union) : « P ou Q » est fausse lorsque P et fausse et Q est fausse
(...)

Extraits

[...] III Les formules logiques Double implication : P(Q équivaut à et Q=>P. Contraposée : équivaut à Qbarre=>Pbarre. équivaut à Pbarre ou Q (P=>Q)barre équivaut à P et Qbarre Lois de Morgan : et Q)barre ( Pbarre ou Qbarre ou Q)barre ( Pbarre et Qbarre IV Différents types de raisonnements Contre-exemple : on trouve un exemple pour lequel l'hypothèse est invalide et on en déduit que la proposition est fausse. Contraposée (cf.III.2)) : On a une hypothèse. On émet sa contraposée et on la vérifie : si elle est juste, l'hypothèse est validée ; si elle est fausse, l'hypothèse est invalidée. [...]

[...] II Les opérations logiques Négation : P barre est vraie si P est fausse barre étant l'évènement contraire de P). Conjonction et intersection) : P et Q est vraie si P est vraie et Q est vraie. Disjonction ou union) : P ou Q est fausse lorsque P et fausse et Q est fausse. Implication : est fausse si P est vraie et Q est fausse. En effet, le vrai ne peut pas impliquer le faux. Equivalence : P(Q est vraie si P et Q sont vraies ou si P et Q sont fausses. [...]

[...] Ce raisonnement se fait en trois étapes : Premièrement, on montre que P(n0) est vraie. Deuxièmement, on montre que si est vraie, est vraie (hérédité). Troisièmement, on conclut que P est vraie pour tout n supérieur ou égal à n0. Exemple : Montrer que pour tout entier naturel 4n+5 est divisible par On applique l'hypothèse à n0 : Si n = 4n+5=6 donc 40+5 est divisible par On annonce l'hypothèse de récurrence, puis on la valide pour : On suppose que pour tout 4n+5 est divisible par i.e. [...]