Cours de mathématiques sur les développements limités - publié le 20/08/2007

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les développements limités, avec les formules nécessaires à l'application des principes d'analyse expliqués.

Extraits

[...] La notion de développement limité est une notion locale. D :Troncature Si admet un DVL de partie régulière , alors pour tout de , admet un DVL dont la partie régulière est obtenue en tronquant au degré , c'est-à- dire en ne prenant dans que les termes de degrés inférieurs à . Lorsque , on a : E : Parité Soit une fonction admettant un DVL de partie régulière , Si est paire, alors est pair. Si est impaire, alors est impair. [...]

[...] Exemple : déterminer le développement limité d'ordre 5 en de , on utilisera soit , et . on va utiliser , pour obtenir le développement limité d'ordre 5 en de , on peut remarquer que devant remplacer par et ne conserver que les termes dont le degré est inférieur ou égal à on aurait pu se limiter à Réponse : puis D : développement limité d'une primitive, d'une dérivée Si est continue, alors une primitive de admet un développement limité à l'ordre dont la partie régulière est obtenue en intégrant terme à terme la partie régulière du développement limité à l'ordre de avec pour terme constant Exemples : A partir de , on obtient . [...]

[...] On effectue un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de . Soit : et (afin d'utiliser les DVL au voisinage de 0 connus) après calculs, (à savoir faire), et d'où l'écriture vectorielle, avec et . La tangente en de paramètre à la courbe est la droite .Faire une figure. F : Position de la courbe paramétrée par rapport à sa tangente en un point Quelques exemples : Etude de définie par et au voisinage du point de paramètre A l'aide des développements limités usuels on obtient : et , par conséquent : ou avec et La tangente en à est la droite passant par et dirigée par le vecteur . [...]

[...] Pour tout réel , On remarque l'analogie avec les coefficients binomiaux. Pratiquement, on écrira : avec . Application: Opérations sur les développements limités A : Opérations algébriques sur les DVL Si et, et admettent des DVL de parties régulières respectives les polynômes et , alors : admet un DVL de partie régulière . admet un DVL dont la partie régulière est formée des termes de degré inférieur ou égal à du produit . B : Composition Si et admettent des DVL de parties régulières respectives les polynômes et et , alors : admet un DVL dont la partie régulière est formée des termes de degré inférieur ou égal à de . [...]

[...] Rappel : et ) Autre formulation : . Cette formule permet d'écrire le développement limité d'une application à condition de connaître ses dérivées successives. Preuve (peut être considérée comme un exercice résolu, un peu délicat) , une application de classe sur on écrit la formule de Taylor à l'ordre : , avec et . On a : , d'où : avec . Objectif : soit . Sachant que est continue en , pour tout , il existe tel que pour tout : . [...]