Cours de mathématiques sur les développements limités destiné en particulier aux étudiants des classes préparatoires. Le cours en lui-même est expliqué en un peu moins de dix pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices suivis des corrections permettant ainsi une mise en pratique des acquis. Document de 6200 mots.
[...] On obtient facilement : Du développement classique on tire pour au voisinage de 0. Le numérateur de la fraction étudiée se simplifie alors sous la forme , expression équivalente en 0 à ou encore à puisque est équivalent à à l'origine. La fraction étudiée est donc équivalente en 0 au quotient de par x4, ce qui conduit à Ramenons nous à une étude à l'origine grâce au changement de variable On a alors or au voisinage de et On en déduit et par suite : 9. [...]
[...] On en déduit aussitôt : On termine suivant la technique classique du quotient en remplaçant dans le D.L usuel , la variable X par Après substitutions et éliminations des termes négligeables devant x4, le produit du numérateur de la fraction par l'inverse du dénominateur se simplifie en : Au voisinage de 0 : .On en déduit d'après la formule d'addition : avec Substituons alors cette valeur de X dans chacun des développements classiques et . On obtient aisément après simplifications le D.L 3 en 0 demandé : 8. Au voisinage de tan(x)= (x. On en déduit que tan4(x) (x4. [...]
[...] On pourra donc parler sous réserve que la décomposition soit possible, du développement limité à l'ordre n de f en x Le polynôme x sera appelé partie régulière de ce développement et le terme en sera le reste. A propos du degré et de la valuation de la partie régulière. _ Insistons sur le fait que l'on n'impose pas à P d'être de degré mais seulement de degré au plus n. Par exemple rien n'interdit d'avoir un développement limité dont la partie régulière serait identiquement nulle. [...]
[...] avec Après simplifications on obtient : dont on déduit immédiatement le développement Ainsi, au voisinage de 0 : . On sait qu'en 0 le sinus hyperbolique est équivalent à x car son nombre dérivé en ce point est ch(0)=1. Les parties régulières du dénominateur et du numérateur sont donc de valuation 2 ou au moins égale à ce qui entraînera une simplification par un facteur commun D'où la nécessité de pousser le développement des termes de la fraction jusqu'à l'ordre 5 pour compenser la chute des degrés dans les restes. [...]
[...] Elle admet donc en 0 des développements limités de tout ordre dont la partie entière est le polynôme nul. ( n ( N : o(xn) puisque . Remarquons également qu'à partir d'un développement limité à l'ordre n de partie régulière il est élémentaire d'obtenir le développement d'ordre k au même point d'étude. La partie régulière s'obtiendra en éliminant dans x0) les monômes en x0) de degré (k. En effet pour i on sait qu'au voisinage de x0 : (x-x0)i _ Si la partie régulière n'est pas identiquement nulle et si q est la valuation de celle-ci, on aura une décomposition du type x0)q+ .+an(x-x0)n+ On en déduit l'équivalence pratique, au voisinage de x0 : ( aq(x- x0)q Le terme aq(x-x0)q est souvent désigné sous le nom de ‘partie principale' du développement. [...]
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