Les déterminants - méthode de calcul et exercices corrigés

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les déterminants destiné en particulier aux élèves des classes préparatoires. Le cours est traité en une quinzaine de pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices avec les corrigés permettant ainsi une mise en application.

Extraits

[...] En conclusion on a bien pour tout n : det(In+hA+O(h))=1+h.trace(A)+o(h) Si on note A'(x)= la matrice obtenue en remplaçant chacun des coefficients de la matrice variable A par sa dérivée au point on obtient très facilement le développement au voisinage de 0 : A(x+h)=A(x)+hA'(x)+O(h). Si est supposée inversible on peut écrire A(x+h)=A(x).[In+hA- 1(x).A'(x)+O(h)] On en déduit d'après la règle du produit et l'étude précédente, la relation : det(A(x+h))=det(A(x)).[1+htrace(A-1(x).A'(x))+o(h)] Ceci n'est autre qu'un développement d'ordre 1 de det(A(x+h)) au voisinage de h=0 On en déduit la formule de dérivation : 16. _ Examinons d'abord le cas particulier c=0. [...]

[...] (Développement dit suivant la première colonne) Règle dite de Sarus que l'on retient en comptant positivement les produits des termes des diagonales descendantes et négativement les produits des termes des diagonales ascendantes dans la matrice de Sarus : FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES. Vers une généralisation. Il est facile de déceler des propriétés algébriques communes aux trois déterminants que nous avons défini précédemment. _ Il s'agît d'applications f allant de En vers K. tout système S de n vecteurs de E on associe un scalaire ) _ Ces applications agissent de manière linéaire sur chacun des vecteurs composant le système les n-1 autres vecteurs étant fixés. [...]

[...] On obtient donc à terme : ) Ainsi une forme n+1 linéaire alternée f sur E de dimension n+1 est nécessairement définie par une formule du type : avec .,en+1).et deti désignant rappelons le, le déterminant dans la base Bi de Ei. Synthèse. Reste à vérifier que l'application f définie comme précédemment avec est bien effectivement n+1 linéaire alternée. Elle sera alors le déterminant d'ordre n+1 dans la base B de E dont toutes les formes n+1 linéaires alternées sur E sont effectivement multiples. La multilinéarité est facile à prouver. [...]

[...] En développant det(M) suivant la première colonne on obtient alors avec les notations usuelles : Or pour chaque indice i la matrice peut se décomposer en blocs sous la forme : avec Si déduit de S par suppression de la ligne d'indice i. D'après l'hypothèse de récurrence on peut donc écrire det(M(i,1))=det(A(i,1)).det(B) et par suite soit encore det(M)=det(A).det(B). L'hérédité du principe de calcul est donc vérifiée, ce qui achève la preuve par récurrence. Déterminants. Exercices Exprimer sous forme de produits de facteurs élémentaires les déterminants : 2. Montrer que les déterminants suivants sont des polynômes de la variable x et déterminer leurs racines : 3. Factoriser les déterminants suivants : 4. [...]

[...] _ Supposons la propriété vraie pour un entier n donné et considérons une matrice carrée A d'ordre n+1 de terme générique et sa transposée B=tA de coefficient général i). Evaluons le déterminant de B en développant suivant la première ligne. Or et est la matrice obtenue en éliminant de B=tA la première ligne et la colonne d'ordre j , c'est à dire en fait la transposée de la matrice obtenue en supprimant de A la première colonne et la ligne d'ordre j. [...]