Les déterminants - le pivot de Gauss

Résumé du document

En particulier la méthode du pivot de Gauss nous ramène à une matrice triangulaire équivalente, de rang n si et seulement si aucun des coefficients diagonaux n'est nul. Il est alors naturel de se demander s'il est possible de construire en marge de cette démarche une expression synthétique portant sur les composantes initiales des vecteurs de S et dont l'analyse permettrait de déterminer simplement si S est à son tour une base de E (on peut penser au produit des éléments de la diagonale de la matrice triangulaire obtenue). Bien sûr on aimerait que l'expression en question ne dépende que des composantes initiales des vecteurs de S, et non pas de la suite de manipulations exécutée ...

Extraits

[...] Factoriser le déterminant : 7. Montrer que tout endomorphisme f d'un plan vectoriel E satisfait toujours à la relation dite de Cayley-Hamilton : f 2-trace(f).f + det(f).IE= Calculer le déterminant de la matrice carrée A d'ordre n dont tous les coefficients sont égaux au scalaire a exceptés les termes de la diagonale principale prenant tous la valeur x On considère les deux matrices avec racine cubique de l'unité. Examiner le produit AB puis en déduire une expression factorisée du déterminant de la matrice A On considère le polynôme Montrer que peut s'interpréter comme le déterminant de la matrice carrée A d'ordre n+1 définie comme suit : _ La première ligne est formée des coefficients du polynôme, listés dans l'ordre des degrés décroissants, soit : an , an- a1, a0. [...]

[...] _ Examinons le cas initial n=2. Avec les notations précédentes, si f est bi- linéaire alternée on pourra écrire : Soit, en utilisant l'alternance : On voit donc que f est nécessairement multiple du déterminant d'ordre 2 défini dans le paragraphe d'introduction et dont les caractères de multi- linéarité et d'alternance se vérifient immédiatement. La condition f(B donne effectivement pour la valeur xy'-x'y, ce qui assure la cohérence de l'appellation déterminant pour cette valeur 2. _ Pour n=3 la tri-linéarité et l'alternance de f permet de même de réduire le calcul de à: f(xe1+ye2+ze3, x'e1+y'e2+z'e3, x''e1+y''e2+z''e3)=xy'z''f(e1, e2, e3)+xz'y''f(e1, e3, e2) + yx'z''f(e2, e1, e3)+yz'x''f(e2, e3, e1)+zx'y''f(e3, e1, e2)+zy'x''f(e3, e2, e1). [...]

[...] On notera le terme générique de la matrice et celui de A. _ Pour n=1 et n=2 les vérifications sont évidentes. _ Supposons la propriété vraie à l'ordre n et examinons la situation à l'ordre suivant. En développant suivant la première colonne on toujours avec les notations classiques : Or est la matrice carrée d'ordre n obtenue à partir de en supprimant la première colonne et la ligne d'indice i. Ses coefficients sont donc tous négligeables devant h en 0 et l'hypothèse de récurrence permet alors d'écrire On en déduit alors le développement : On obtient bien pour h voisin de 0 : det(A+O(h))=det(A)+o(h) ce qui conclut la récurrence. [...]

[...] Déterminant d'une transposée. Théorème : Le déterminant d'une matrice carrée quelconque A est toujours égal à celui de la transposée tA La démonstration s'effectue ici par récurrence sur l'ordre n de la matrice. _ Pour n la vérification est immédiate en examinant les formules explicitant les déterminants correspondants. _ Supposons la propriété vraie pour un entier n donné et considérons une matrice carrée A d'ordre n+1 de terme générique et sa transposée B=tA de coefficient général i). Evaluons le déterminant de B en développant suivant la première ligne. [...]

[...] La première colonne voit alors tous ses termes nuls sauf le dernier égal à 1. En développant suivant cette colonne on obtient donc Dn+1=(-1)n+2det(An) avec An carrée d'ordre n dont le terme générique est (xn+1)j. En utilisant la linéarité suivant chaque ligne on peut alors ‘sortir' du déterminant de An chacune des différences xn+1-xi . Ceci conduit à , avec pour coefficient générique de Bn : Effectuons alors la séquence de remplacement : , pour j variant en décroissant de n à 2. [...]