Les déterminants - théorèmes et application

Résumé du document

Théorème 1 : 1/ Le déterminant d'une matrice est une application linéaire par rapport à chaque colonne (resp. chaque ligne). 2/ Le déterminant d'une matrice change de signe si on permute deux colonnes (resp. 2 lignes). 3/ Le déterminant d'une matrice est nul si deux colonnes (resp. 2 lignes) sont égales ou, d'une manière générale, les vecteurs colonnes (resp. lignes) sont liés ...

Extraits

[...] Le dé terminant d'une matrice est une application liné aire par rapport à chaque colonne (resp. chaque ligne) Le dé terminant d'une matrice change de signe si on permute deux colonnes (resp lignes) Le dé terminant d'une matrice est nul si deux colonnes (resp lignes) sont é gales ou , d'une manière gé né rale, les vecteurs colonnes (resp. lignes) sont lié s. Thé orème Soit T ÎM une matrice triangulaire , c'est à æ t11 L L t1n ö æ t ç0 O ç M O M ç ou T = ç ç M O O M ç M çç çç è 0 L 0 t nn ø è t n1 L dire : L 0ö O M , O L t nn alors n det A = Õ t ii i Thé orème dé terminant par blocs Soit M ÎM . [...]

[...] Dé terminant d' une matrice carré e PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com Classes pré paratoires ICAM Toulouse (Spé Dé terminant 3/3 Dé finition æ a11 a12 L a1n ö ça a 22 L a 2 n 21 ç Soit A = i,j£nÎM A = . ç M O M çç è a n1 L L a nn ø On peut associer à la matrice la famille des vecteurs colonnes Cn) dans la base canonique B = e en) de Kn ; ou encore, on peut lui associer d'une manière canonique l'endomorphisme f de Kn. Proposition - dé finition : Le déterminant de noté det est le scalaire dé fini de l'une des deux manières é quivalentes suivantes : 1. det A = det(f) 2. [...]

[...] Dé veloppement d' un dé terminant suivant une ligne ou une colonne Dé finition Soit A = i,j£nÎM n(K). On appelle : Mineur de aij, le dé terminant Dij de la matrice extraite de obtenue en supprimant la ième ligne et la jème colonne de A. Cofacteur de aij, le scalaire Dij. PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com Dé terminant 5/5 Classes pré paratoires ICAM Toulouse (Spé Thé orème dé veloppement suivant la colonne j Soit A = i,j£nÎM on a : n , det A = "jÎ n å a ( i+j ij i D ij Remarque: Sachant que det A = det tA, on obtient un ré sultat analogue au thé orème 1. [...]

[...] Dé terminant Dans toute la suite de ce chapitre, E dé signe un K-ev de dimension n. Thé orème-dé finition L'ensemble des formes n-liné aires alterné es sur E est un espace vectoriel de dimension 1. De plus, il existe une et une seule forme n-liné aire alterné e sur E prenant la valeur 1 sur une base B de appelé e déterminant dans la base B et on la note detB. Proposition Soit vn) Î En j)Î n , detB(v vi vj vn) = - detB(v vj vi vn) detB(v1, v 0 dès que 2 vecteurs parmi les v vn)sont é gaux ou, d'une manière gé né rale, la famille v vn)est lié e On ne change pas la valeur de detB(v1, v vn) si l'on ajoute à l'un des vecteurs vi une combinaison liné aire des autres é lé ments. [...]

[...] O M L a nn Proprié té s Proprié té s Soit BÎM det A = det tA Soit lÎK, det(lA) = ln det A 3. det . = det A . det B Remarque det + det A + det B Proprié té s Matrices semblables Soit BÎM n(K). Si A et B sont semblables, alors det A = det B Remarque Cette proprié té devient triviale, si on traduit les matrices en termes d'endomorphismes. Proprié té s Matrice inversible Soit A ÎM n(K). A est inversible dans M Û det A Et dans ce cas det(A ) = . [...]