La dérivation : dérivées usuelles et fonctions trigonométriques

Résumé du document

Un peu d'histoire...

La notion de dérivée a vu le jour au XVIIè siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme "le quotient ultime de deux accroissements évanescents".

C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première motié du XVIIè siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait "touchantes" ; le marquis de l'Hospital participera aussi à la fin du XVIIè à étoffer cette nouvelle théorie (...)

Extraits

[...] D'où la fonction tangente est impaire. cos(-x) cosx On étudie donc sur puis on complète sur par symétrie par rapport à O puis sur Df par translation de vecteur π i . (tanx)' = 1 + tan²x > 0. donc la fonction tangente est strictement croissante sur Df 1 lim tanx = lim = forme + La droite d'équation x = π est asymptote à Cf. x π tanx = tanx = 0 f'(x) = 1 + tan²x f'(0) = 1 x La droite d'équation y = x est une approximation affine de la fonction tangente en 0. [...]

[...] Une équation de la tangente en x0 est : y = f'(x0)(x-x0) + f(x0) f. Dérivées successives Si la fonction dérivée f' est elle-même dérivable sur la fonction dérivée de f' est appelée dérivée seconde et est notée f'' . Si la dérivée seconde est dérivable sa dérivée est notée f''' jusqu'à la dérivée d'ordre n qui se note f(n). (notation de Lagrange) df qui équivaut, plus rigoureusement En physique on utilise la notation de Leibniz ( ou écriture différentielle) dx dn f à pour f'(x), pour f'' n pour f(n). [...]

[...] C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f'(x), aujourd'hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en Nombre dérivé Approche intuitive On se donne une courbe d'une fonction continue Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-àdire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si on se donne une abscisse a pour laquelle la fonction f est dérivable, on appelle nombre dérivé de f en a le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. [...]

[...] x IR, (sinx)' = cosx , donc la dérivée est positive sur et négative sur [π donc la fonction est π croissante sur et décroissante sur [ Limites classiques sinx x = sinx lim = 0 f'(x) = cos x f'(0) = 1 = f'(0) = 1 x-0 lim On peut en déduire que la droite d'équation y = x est une approximation affine de la fonction sinus au voisinage de 0. cosx-1 x =cosx lim = 1 f'(x) = - sinx f'(0) = 0 Fonction tangente La fonction tangente est définie pour cosx 0 donc sur IR {π + k π, k ZZ} 2 sin(x+ π) - sinx tan(x+ π) = = = tanx . D'où la fonction tangente est périodique de période π. cos(x+ π) - cosx sin(-x) sinx tan(-x) = - tanx. [...]

[...] h prend des valeurs positives et sa limite en 0 est Si l'on donne à h des valeurs proches de alors h donc nécessairement positive . On a donc f ' ( x ) Théorème 2 (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . Si pour tout x de I , f '( x ) alors f est croissante sur I. Si pour tout x de I , f '( x ) alors f est décroissante sur I. [...]