La dérivation - fonctions monotones et accroissements finis

Résumé du document

Cours de mathématiques sur la dérivation s'adressant aux élèves de classes préparatoires HEC. Il comprend le cours en entier avec les définitions, les propriétés et les théorèmes ainsi que quelques astuces pour vous aider à aller plus vite dans la résolution des problèmes de fonctions. La maîtrise de ce cours est essentielle.

Extraits

[...] Dé nitions, exemples a. Dé nitions Soit I un intervalle de R et x0 un point de on considère une fonction f dé nie sur Dé nition : La fonction f est dite dérivable en x0 si le taux d'accroissement f x f (x0 ) x0 admet une limite nie en x0 f x!x0 x On note f 0 (x0 ) = lim f (x0 ) : x0 On note aussi f 0 (x0 ) = df (x0 ) dx Interprétation géométrique: La dérivabilité de f en x0 entraîne l'existence d'une tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse x0 : f 0 (x0 ) est le coe¢ cient directeur. [...]

[...] Inégalité des accroissements nis Théorème : Soit f continue sur et dérivable sur (avec a On suppose de plus qu'il existe M ) 2 R2 tq m f 0 alors: m f f M Souvent, on aura pour hypothèse: jf 0 jf M sur K pour tout x 2 ; et alors f K ou jf f K jb aj (valable même si a > Rq : cette dernière inégalité est très souvent utilisé dans les suites récurrentes: un+1 = f (un ) En si l est un point xe de f = alors on jf (un ) f K jun lj soit jun+1 lj K jun lj et une récurrence facile donne: jun lj K n ju0 lj 4. Limite de la dérivée Théorème : Soit f continue sur et de classe C 1 sur Si f 0 admet une limite nie l au point b (à gauche) alors f est dérivable en f 0 = l et f est de classe C 1 sur f f = 1 : f n'est pas dérivable en b x b En ce point, la courbe présente une tangente verticale. [...]

[...] N La réciproque est fausse: voir la fonction j:j en Commentaires: b. Opérations sur les dérivées On suppose f et g dérivable en x0 et parfois ne s'annulant pas en x0 f + g est dérivable en x0 et + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) f:g est dérivable en x0 et g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g (x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ) 1 est dérivable en x0 f et 1 f 0 f est dérivable en x0 g et f g 0 (x0 ) = (x0 ) = f 0 (x0 ) f (x0 f 0 (x0 ) g (x0 ) f (x0 ) g 0 (x0 ) g (x0 Composée: Si f est dérivable en x0 (resp. [...]

[...] Voir la fonction f = x Caractérisation des fonctions monotones o o Soit I un intervalle de on note I l'intérieur de Ainsi, si I = ; I = : o Soit f continue sur I et dérivable sur on o f est constante sur I , f 0 = 0 sur I o f est croissante sur I , f sur I f est décroissante sur I , f 0 o 0 sur I et de plus f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I > : x 2 f 0 = 0 est ni ou vide 3. [...]

[...] Fonctions de classe Cp ; de classe C1 Soit f une fonction dérivable sur on appelle f 0 ; fonction dérivée de f la fonction qui associe à tout point x de I le nombre f 0 : Dé nitions : On dé nit la fonction dérivée n-ième (ou d'ordre de notée f ou par la relation de récurrence: f = f et f = f Dé nitions : dn f dxn 0 f est dite de classe C p sur I lorsque f existe et est continue sur I f est dite de classe C 1 si pour tout p 2 f est de classe C p : Prop: Si f est de classe C p alors pour tout k 2 ; f est de classe C k Exemples: on pose f = xk ; calculer f on pose g = 1 x calculer g b. Complémént: formule de Leibniz Théorème : Si f et g sont n fois dérivables sur un intervalle I alors le produit f:g est n fois dérivable sur I et on n X = Cnk f g k=0 Corollaire :kSi f et g sont de classe C n sur I alors f:g est de classe C n sur B. Étude globale des fonctions dérivables 1. [...]