La dérivation - règles opératoires, réciproques et prolongement par continuité

Résumé du document

Cours de mathématiques sur la dérivation destiné à l'origine à des étudiants des classes préparatoires. Ce cours est composé du chapitre sur la dérivation (environ 15 pages) ainsi que de plusieurs exercices accompagnés des corrigés pour vous faire assimiler le cours plus rapidement. Document de 10700 mots.

Extraits

[...] Soit f une fonction à valeurs réelles de classe Cn+1 entier donné) sur un intervalle I contenant le réel x0. On suppose de plus f bornée sur l'intervalle I. Le polynôme défini par la formule est appelé polynôme de Taylor d'ordre n de f en x0. Ce polynôme approxime localement la fonction f au voisinage de x la qualité de cette approche étant précisé par la majoration de l'écart suivante : ( x Démonstration. _ Commençons par ramener le problème posé à une étude standard au voisinage de 0. [...]

[...] _ Supposons c distinct des bornes a et b et examinons le taux d'accroissement de f en ce point. est du signe de x-c puisque toute image par f est supérieure ou égale à la borne inférieure m de f sur b]. Ainsi, le nombre dérivé f'(c) ne peut être que nul puisqu'il doit être à la fois limite du taux d'accroissement à gauche de donc d'une fonction à valeurs négatives ou nulles, mais aussi limite de ce même taux lorsque x tend vers c par valeurs supérieures, c'est à dire d'une fonction à valeurs dans R+. [...]

[...] f est bien dérivable en a avec Dérivabilité et continuité. Théorème : Toute fonction dérivable en a est nécessairement continue en ce point . Nous l'avons démontré au passage dans l'étude réciproque précédente. On peut le voir plus directement en utilisant le développement au voisinage de a : La fonction affine tangente est continue en a comme en tout point et toute fonction négligeable en a devant x-a tend vers 0 au point d'étude considéré. On a donc bien Par contre la réciproque est fausse, la seule continuité de f en a ne suffit pas pour en déduire la dérivabilité en ce point. [...]

[...] Si f était de classe C1 sur l'image de ce fermé borné par la fonction continue f' serait encore un intervalle fermé borné. La borne supérieure 1 de la dérivée serait alors atteinte au moins une fois par f' sur l'intervalle, ce que contredit le résultat Soit a un réel quelconque fixé. D'après l'hypothèse sur f on peut alors dire que pour tout réel x : . On en déduit pour x : . Par suite, vu le théorème d'encadrement : , c'est à dire que f est dérivable en de dérivée nulle en ce point, et ceci pour tout a. [...]

[...] On en déduit que sur chacun des deux intervalles ou la fonction q définie par le quotient x ( a pour dérivée en chaque point La fonction q garde donc une valeur constante ( sur I et une valeur constante ( sur J. Ainsi sur et sur Ces formules sont aussi vraies au point car par définition de f(0)=0. On en déduit que d est dérivable sur R entier selon les formules : Sur I : d'(x)=2(x ; sur J : d'(x)=2(x et d'(0)=0. Or d définie sur R par est dérivable selon d'(x)=-f'(- '(x) . Elle admet donc, vu l'existence supposée de f''(0), une dérivée seconde à l'origine égale d'après le théorème de composition, à : d''(0)=f''(0)- f''(0)=0. [...]