Cours sur les vecteurs (niveau Seconde) - publié le 01/03/2010

Résumé du document

Cours de Maths niveau Seconde sur les vecteurs, avec figures et calculs (formules).

Extraits

[...] Définition : Égalité de deux vecteurs. Deux vecteurs sont égaux SSI ils définissent la même translation Exp 1 : Dans le parallélogramme : On a les égalités de vecteur suivantes : AD = BC DA = CB AB = DC BA = CD CI = IA BI = ID AI = IC Exp 2 : A B C D AC = BD AB = CD Théorème : Caractérisation vectorielle du parallélogramme MNPQ est un parallélogramme SSI MN = QP SSI MQ = NP Remarque : ! [...]

[...] Définition 1 : 2 vecteur sont colinéaire SSI ils ont la même direction Exp : U V Remarque : - Deux vecteurs colinéaires ne sont pas forcément égaux (voir dessins si dessus ) En revanche, deux vecteurs égaux sont toujours colinéaires On a constaté qu'en multipliant un vecteur par un réel, la direction est conservé. Ainsi les vecteurs U et kU ont la même direction et ils sont donc colinéaires Définition 2 : U et V sont colinéaire SSI il existe un réel k tel que U = kV Exp : soient U et V On constate que U = -2V donc U et V sont colinéaire Remarque : Deux vecteurs sont colinéaire quand leur coordonné seront proportionnel Théorème : U , et V sont colinéaire SSI xy' yx' = 0 Exp : U Xy' yx' = * -7/12 7/2 * = 21/12 7/4 = 7/4 7/4 = 0 Conclusion U et V sont colinéaires Propriété ( utilisation de la colinéarité ) : Soient A B et C 3 points distincts du plan. [...]

[...] Définition & Propriété : Dans un repère ( O , i , j ) soient U et V deux vecteur U + V Interprétation graphique : construction d'une somme vectorielle Exp : dans ( i ; j ) soit A ( et B ( 2 ) Construire le représentant d'origine O du vecteur OA + OB Conséquence : Pour tracer la somme de 2 vecteur, il faudra les disposer de façon à ce qu'ils se suivent on dit alors que l'on a enchainé les 2 translations de vecteur OA et OB On remarque que OA + OB = OB + OA Conséquence : La relation de Chasles. Théorème : pour tous points ABC du plan : AB + BC = AC Multiplications d'un vecteur par un réel. [...]

[...] Définition : Un repère du plan est défini par la donnée de : 2 droites sécantes 3 points non alignés 1 point d'origine O et 2 vecteurs directions) I et J Vocabulaire : Si de plus les directions sont perpendiculaires alors le repère est Orthogonal Et si les vecteurs I et J définissent une même distance égale à Alors le repère sera Orthonormal Un repère orthonormal se représentera donc de la façon suivante : Remarque : Le plus souvent, on utilisera un repère orthogonal ou orthonormal Lecture Graphique des Coordonnées. Exp : Pour determiner les coordonées du vecteur on décompose le déplacement en deux déplacement parallèle aux axes du repère. Le sens positif étant donné pour chacun de ces déplacements par les vecteurs i et j du repère. [...]

[...] Propriété, définition : soit U un vecteur et soit k le vecteur ku a pour coordonnées Ku Ex : soit U Dans un repère orthonormal ( i , j ) Tracer un représentant de U , 2U , , 1/2U , -5/2U On a 2U , ,1/2U , -5/2U . On remarque que tous ces vecteurs possède la même direction, de plus on remarque que dans on multiplie par un réel positive, on conserve le sens de U et quand on multiplie par un réel négative on obtient le sens opposé A partir de cet exemple, on peut donner la définition suivant : Définition : soit U un vecteur, l'opposé du vecteur U est le vecteur , les vecteur U et différent uniquement par leur sens (même direction, même longueur, sens opposé) Conséquence : - soient A et B 2 points du plan, l'opposé du vecteur AB et le vecteur ( = BA ) - Soustraire, c'est additionner l'opposé Ainsi AC EC AC + ( - EC ) AC + CE AE Remarque : Valeur Absolue d'un nombre Lorsque l'on multiplie un vecteur par un réel, la longueur du vecteur est aussi multipliée. [...]