Les polynômes et les fractions rationnelles

Résumé du document

Une quantité du premier degré est une quantité du type p(x) = ax + b avec a ¹0.

La représentation graphique de p est une droite dont la pente est a et dont l'ordonnée à l'origine est b. Cette fonction croît lorsque a > 0 et décroît lorsque a < 0 (...)

Extraits

[...] a x ax + b signe opposé de a b a O signe de a Exercices Pour les quantités du premier degré suivantes, donner le tableau de signe et la représentation graphique = 2 x 3 = 3 x + 5 = 2 x = x + = x = x = x + = x II - Le second degré A savoir Une quantité du second degré est une quantité du type = + bx + c avec a 0. Son discriminant est défini comme étant = 4ac. Lorsque [...]

[...] On remarquera qu'en général, est toujours du signe de a sauf à l'intérieur des racines quand elles existent. Lorsque > possède deux racines distinctes α = Exemples et exercices Pour chacune des quantités du second degré suivantes : calculer les valeurs des racines éventuelles, donner son tableau de signe et résoudre l'équation ou l'inéquation demandée. = + 3x + 5 > 0 = + x 3 = 0 = + x 15 0 = + 2x + 5 0 = 18 = 0 = +2x 3 > 0 = 4 0 = + 8x = 0 = + 1 [...]

[...] Le degré d'un polynôme est la plus grande puissance de x apparaissant. Dans l'exemple, il vaut 4. Une racine est une valeur de la variable qui annule le polynôme. Dans l'exemple, 1 est racine. Lorsque α est une racine d'un polynôme, celui-ci peut se factoriser par α) et l'autre facteur a un degré de moins que le polynôme qu'on factorise. Le polynôme de l'exemple peut s'écrire = + x 3 + b x 2 + c x + d). En développant et en identifiant, on détermine les coefficients de l'autre facteur. [...]

[...] Une fois factorisé en produit de termes de degré 1 ou l'étude de signe peut se faire dans un tableau. Exercices Vérifier que le nombre donné entre accolades est une racine du polynôme, factoriser celui-ci puis étudier son signe. = 6x 3 13x 2 13x + 30 = 6x 3 + 5x 2 3x 2 = 2x 4 + 7x 3 + 2x 2 3x 2 { } 3 = 9x 3 48x 2 13x + 10 = 4x 4 12x 3 5x 2 + 21x + 10 = 2x 3 x 2 + 5x + 3 1 } 2 { 1 et 2 } IV - Fractions rationnelles A savoir Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. [...]