Cours de Maths sur les nombres dérivés

Résumé du document

Ce document est un cours sur les nombres dérivés. Clair et précis ce dernier a été construit dans le but de faire travailler un élève qui avait des difficultés en mathématiques.

Extraits

[...] Les nombres dérivées Le nombre dérivé d'une fonction f en noté est le coefficient directeur (ou la pente) de la tangente Ta (tangente à la courbe Cf, passant par le point d'abscisse Méthodes pour calculer le nombre dérivé On utilise le taux d'accroissement Pour cela, on étudie la limite suivante : Exemple : Soit f la fonction définie par = Déterminer (s'il existe) le nombre dérivé On a : On utilise la représentation graphique Lorsque la courbe de f Cf, et la tangente en un point a sont tracées sur un même graphique; on peut déterminer la dérivée de ce point a. En effet, la dérivée de a est le coefficient directeur de la tangente Ta. Rappel : Le coefficient directeur d'une droite se lit de la manière suivante. On part d'un point quelconque de la droite et on avance d'une unité vers la droite. On regarde alors, de combien on monte ou en descend pour retomber sur la droite. [...]

[...] Ce nombre est alors le coefficient directeur de la droite. On utilise le tableau des dérivées usuelles Voici le tableau des dérivées usuelles : Exemples : = x8 = 8x7 = sin 8 = cos Opérations sur les dérivées Dérivée d'une somme de fonctions + = + Exemple : = x5 + x3 + x2 + x = 5x4 + 3x2 + 2x + 1 Dérivée de la fonction k.u = k . = k . Exemple : = 5x2 = 2x = 10x Dérivée d'un produit Exemple : = Type u x v : = 5x - 3 = 5 = - 1 = 8x = - + (5x - 8x = - + - 24x) = - 5 + 40x² - 24x) = 60x² - 24x - 5 Dérivée d'un quotient Exemple : = Type u/v : = 5x - 3 = 5 = - 1 = 8x = - - (5x - 8x] / - = - - - 24x)] / - = - 5 - 40x² + 24x) / - = + 24x - / - 3. [...]

[...] - + Exemple : Soit la fonction = + 4x - trouver l'équation de la tangente en x = 9 = + - 7 = 3(81) + 36 7 = 243+ 29 = 272 = 6x + 4 = + 4 = 54 + 4 = 58 D'où : y = 58 - + 272 y = 58x - 522 + 272 y = 58x - Autres formules Fonction inverse : 1/u Si u est fonction dérivable, alors 1/u est dérivable. Sa dérivée étant : Exemple : = 1/cos x = sin cos² x Dérivée de la fonction composée Si f est dérivable, alors : [ f(ax + = a . (ax + On en tire alors les propriétés suivantes : Exemple : + = / + 5. Sens de variation d'une fonction f Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. - Si > 0 sur alors f est strictment croissante sur I. [...]

[...] - Si = 0 sur alors f est constante sur I. Le signe de la dérivée donne ainsi le sens de variation de f. Exemple : Étudier les variation de la fonction f définie avec : = + 15 x Calcul de = 10x + 15 Calcul de la racine de la dérivée : 10x + 15 = 0 10x = -15 x = -15/10 = Tableau de signe et de variation : 6. Approximation affine locale d'une fonction f Pour h très petit, c'est-à-dire tendant vers on a : f(a + ( + h . [...]