L'intégration

Résumé du document

Cours de mathématiques destiné en particuliers aux étudiants des classes préparatoires sur l'intégration. Le cours en lui-même est présenté en une quinzaine de pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices accompagnés des corrections permettant ainsi une mise en application. Document de 8600 mots.

Extraits

[...] Posons avec t décrivant On transforme donc en ( Ceci en remplaçant t par On en déduit sur J : . Par suite, sur : Posons avec t décrivant On transforme alors l'étude sur I=R de en l'étude sur J de Or Comme et que , il vient après simplifications : Sur tout R : Plaçons nous sur un intervalle I où la fonction sinus ne s'annule pas et posons t=tan(x) La nouvelle variable t va décrire un intervalle J et la fonction ( de J vers I définie par la formule t (x=((t)=Arctan(t) est bijective de classe C1. [...]

[...] Les primitives de f sur I sont alors données par F=G avec Après simplifications, sur J : Ainsi, sur I : Le champ d'étude est bien sûr Commençons par une intégration par parties dans laquelle u'(x)= et v(x)=ln(x). Il vient v'(x)= et par suite : Posons alors dans la nouvelle intégrale avec t décrivant On se ramène alors à évaluer sur J : Ainsi, sur : Intégrons par parties sur un intervalle I ne contenant pas en posant et v(x)=xex. Il vient alors : Ainsi, sur I : 20. [...]

[...] Attention ! Les formules ci-dessus sont valables sur tout intervalle I sur lequel la fonction à intégrer est définie et continue. Dans chaque cas il s'agira donc de bien préciser le contexte de l'étude. Ainsi : sur (Les vérifications s'obtiennent immédiatement par évaluation des dérivées.) Intégration des fractions rationnelles. Il existe une méthode standard applicable si on dispose d'une décomposition effective de la fraction en éléments simples sur R(X). Examinons en effet les différents termes intervenant dans la décomposition . [...]

[...] Vérifions le en montrant d'abord que la somme en question reste inchangée si on passe de P à un partage Q plus fin que P. Notons j (yj ce nouveau partage, j variant dans { et la valeur de f sur ]yj , yj+1[ Chaque point xi de subdivision de P est donc nécessairement un point de Q d'indice avec ( fonction strictement croissante de { vers { m}. On peut donc écrire Or pour tout i : et pour chaque indice j de cette somme partielle. [...]

[...] Si f est une fonction à valeurs réelles continue sur un intervalle quelconque I de R et si a est un point arbitraire de alors la fonction F de I vers R définie par le procédé de correspondance : x ( est une primitive de f sur I. Démonstration. Déjà remarquons que f étant supposée continue sur l'intégrale Riemann de f sur tout segment de I a bien un sens. Vu la convention posée ci-dessus au sujet d'une inversion éventuelle des bornes d'intégration, l'image aura bien un sens pour tout x de I supérieur ou inférieur à a. Considérons un élément x0 de l'intervalle I et étudions le taux d'accroissement de F en ce point. Nous noterons pour tout x de {x0}. [...]