Les équations différentielles

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les équations différentielles destiné particulièrement aux élèves des classes préparatoires. Le cours en lui-même est présenté en une dizaine de pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices corrigés permettant ainsi une mise en application des acquis. Document de 800 mots.

Extraits

[...] L'équation proposée se traduit alors simplement par : 2(z'-1)=cos(z). Les variables se séparent sans problèmes suivant : Les solutions définies sur un intervalle I seront donc définies de manière implicite sur I par la relation avec C constante arbitraire. Pour résoudre l'intégrale ci dessus, le changement de variable est classique si on limite l'étude aux fonctions z à valeurs dans On se ramène alors à : En revenant à l'inconnue il vient : On obtient l'équation générale des courbes intégrales en remplaçant enfin z par Remarquons que l'étude de celles ci pourra s'effectuer grâce au paramétrage en z suivant : , z décrivant . [...]

[...] Cela revient à ajouter une contrainte du type y'(x0)=y0' avec y0' élément donné de K. On obtient alors une deuxième équation linéaire : (y1'(x0)+ y2'(x0)=y0'-p'(x0) Le système formé par et est de Cramer, son déterminant a déjà été rencontré dans la méthode de Lagrange . Il se résume en fait à si et sont les racines distinctes de l'équation caractéristique, et à dans le cas d'une racine double. Il existe alors un seul couple ) satisfaisant aux deux conditions imposées. [...]

[...] Elle est donc strictement croissante, continue sur l'intervalle et réalise donc d'après le théorème classique d'inversion une bijection entre J et l'intervalle La réciproque x ( est alors dérivable en tout point de I et satisfait bien sur cet intervalle à la relation imposée : Si on revient à l'inconnue d'origine la relation précédente se traduit par l'équation cartésienne définissant une courbe intégrale C ( Notons pour terminer que le tracé de cette courbe pourra s'effectuer en paramétrant à l'aide de z=x+y+1. On obtient en effet la correspondance : 6. Il s'agît d'une équation linéaire classique du premier ordre : a(x)y'+b(x)y=c(x). [...]

[...] C'est le cas de second membres polynômiaux ou produits d'un polynôme par une exponentielle, intervenant fréquemment dans des équations différentielles traduisant des phénomènes physiques. On a dans cette configuration la règle pratique suivante : Si le second membre est du type P(x)e avec P polynôme de degré n et ( complexe donnés, on cherchera une solution particulière du même type Q(x)e avec Q polynôme de degré : _ égal à n si ( n'est pas solution de l'équation caractéristique (Ecar) _ égal à n+1 si ( est racine simple de cette équation caractéristique. [...]

[...] On se trouve donc dans la situation standard décrite dans le paragraphe 2). Les solutions seront décrites sur I par une formule du type Y=Y0+(.v avec Y0 solution particulière, ( scalaire quelconque, et v définie par : x On en déduit par quadrature : z=z0+(V + avec z0 et V primitives respectives sur I des fonctions Y0 et v et constante quelconque dans K. Ainsi les solutions générales de sont décrites sur I par la relation : y=u.z0+(.(u.V)+ avec ) couple arbitraire de constantes prises dans K. [...]