Cours de mathématiques : introduction au calcul des derivées

Résumé du document

Ce cours de mathématiques vous permettra d'aborder de façon claire la notion de dérivée à l'aide des théorèmes généraux ainsi qu'un tableau de dérivées de fonctions usuelles.

Extraits

[...] produit : est dérivable sur et . quotient :si , alors est dérivable sur et . G : Dérivée d'une application composée Soient et deux intervalles de contenant au moins deux points désignent deux applications telles que . Ainsi, on peut définir . Si est dérivable sur et est dérivable sur alors est dérivable sur et ou H : Dérivées de fonctions usuelles I : Dérivées successives On considère une fonction définie sur et à valeurs dans . On convient de noter , on définit les dérivées successives de par : pour tout (sous réserve d'existence) On dit que est fois dérivable sur lorsque est définie sur . [...]

[...] C : Extremum local On considère une fonction définie sur et à valeurs dans on dit que présente en un maximum local s'il existe tel que : et On définit de façon analogue la notion de minimum local. Un extremum local est un maximum local ou un minimum local. D : Extremums locaux des fonctions dérivables. On considère une fonction définie sur et à valeurs dans et , c'est-à-dire que et que n'est pas une extrémité de . Si est dérivable en et admet en un extremum local alors est une condition nécessaire d'existence d'extremum local, ce n'est pas une condition suffisante. Exemple : en ce théorème concerne les applications dérivables. [...]

[...] Exemple : possède un minimum local en 0 sans être dérivable en Ce théorème concerne . Exemple : présente un maximum en 1 bien que sa dérivée ne s'annule pas en 1. Remarque : est proche de lorsque est petit ce taux d'accroissement (donc le nombre ) donne une idée de la dépendance relative de et de au voisinage de . Si est grand une petite variation de est corrélative à une grande variation de . (Exemple : Si est petit une petite variation de est corrélative à une petite variation de . [...]

[...] Abréviation : est dérivable en sera noté est D1 en . Autre formulation : est dérivable en , lorsque possède une limite finie, notée , lorsque tend vers ce que l'on note . Interprétation géométrique Si est dérivable en , alors, dans le plan rapporté au repère , la droite d'équation est la tangente en à , courbe représentative de . En effet, est la pente de la sécante joignant les points et de , lorsque est dérivable en , cette sécante a une position limite que l'on appelle tangente à la courbe au point . [...]