Cours d'algèbre linéaire (Grande Ecole d'ingénieur : bac +3)

Résumé du document

Généralités, opérateurs de projection, déterminants, isométries, formes quadratiques, factorisation matricielle, discret et continu, produit de Kronecker etc. Un cours d'algèbre linéaire complet de 106 pages, décomposé en neuf chapitres. Document au format Acrobat.

Extraits

[...] Et ceci d´ecoule de (143). Remarques : Voir au Chapitre 7 une sorte de r´eciproque : toute matrice 0 peut se mettre sous la forme CC T , avec C triangulaire sup´erieure (factorisation de Cholesky). Le cas ne peut se produire que si A est en format ”portrait”. Voir ´egalement au Chapitre 7 la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres (SVD).o` u la notion de rang est tr`es centrale, comme elle l'est d'une mani`ere g´en´erale dans les applications de l'Alg`ebre Lin´eaire. Dans l'annexe consacr´ee la notion de rang, on a plac´e quelques r´esultats compl´ementaires sur les matrices de Gram. [...]

[...] Il est distributif sur l'addition : + C = + C). Si A et B sont carr´ees, A qui est carr´ee ´egalement, a pour valeurs propres tous les produits possibles d'une valeur propre de A par une valeur propre de et les vecteurs propres associ´es sont obtenus par produits tensoriels des vecteurs propres correspondants. Relations fondamentales entre produit ordinaire, produit de Kronecker et vectorialisation : (ABC)V = T A)B V (133) A)B V T I)AV (134) (AB)V = u I = Ip avec p=nombre de colonnes (resp lignes) de B dans la premi`ere (resp. [...]

[...] avec ´egalit´e si et seulement si le syst`eme V Vk est libre. Plus g´en´eralement, il est clair que cette d´efinition d'orthogonalit´e des vecteurs est ´equivalente ` a l'orthogonalit´e l'ensemble des combinaisons lin´eaires de ces vecteurs. Par suite ef. ect{V Vk = Vk Ce qui permet de parler du SEV (suppl´ementaire) orthogonal un sousespace donn´e Les matrices efinies-positives efinition : une matrice carr´ ee sym´ etrique est dite efinie-positive Notation (interne ce cours) : A 0 si : 0 X T AX > (consid´erer cette appellation comme un tout : on ne cherche pas donner de sens s´epar´e ` a et ` a ”positive”). [...]

[...] Alors on montre que B est aussi inverse droite (AB = I). On note cette matrice B et on l'appelle l'inverse de A (tout court). On v´erifie ais´ement que = B On dit que deux matrices A et B Rn×n sont semblables ssi Rn×n inversible telle que B = P AP (c'est une relation d'´equivalence : le v´erifier titre d'exercice). Si A Rn×p , sa transpos´ ee est la matrice not´ee AT Rp×n ayant les 0 coefficients aij = aji . [...]

[...] est remplac´e par X C par et le ”terme rectangle” 2X T BY disparaˆıt”. Preuve : Cons´equence de l'identit´e appliqu´ee au premier membre de pour obtenir son second membre. avec 57 Corollaire (avec les notations ci-dessus) : A B A 0 0 BT C S = C B T AB 0 On retiendra : que tout bloc carr´e sup´erieur gauche d'une 0 est que tout compl´ement de Schur d'une 0 est 0. Preuve : X T Par hypoth`ese, V QV > 0 quel que soit V = 0. [...]