Les courbes planes

Résumé du document

Chapitre de mathématiques sur les courbes planes destiné en particulier aux étudiants des classes préparatoires. Le cours en lui-même est exposé en un peu plus de dix pages et est suivi par un ensemble d'exercices accompagnés de leur correction pour mettre en pratique les acquis. Document de 6900 mots au format Word.

Extraits

[...] Le calcul des dérivées et la détermination de leur signe est très simple. ( 0 sur ( 0 sur D'où le tableau de variations suivant : t 0 x' 0 - y' 1 + x 1 y 0 Branche infinie : En posant , on se ramène à une étude au voisinage de 0 avec : et . On en déduit facilement que x+y tend vers 0 en 0. En effet : et en ( - La droite d'équation est donc asymptote à la courbe plane étudiée Etude sur R*. [...]

[...] On a toujours (F+G)'=F'+G' et ((.F)'=(F' Plus généralement, pour des fonctions de classe Cn : et _ La limite d'une somme est toujours la somme des limites. De même le produit d'une fonction de limite vectorielle par une fonction à valeurs réelles tendant vers ( aura pour limite ( au point considéré. _ Le produit de deux fonctions à valeurs dans l'espace Euclidien E devra être envisagé au sens produit scalaire ou produit vectoriel. La continuité est encore assurée si chacune des deux fonctions considérées la satisfait. La limite d'un produit est encore le produit des limites. [...]

[...] est période de chacune des fonctions coordonnées, et le changement de t en laisse y invariant alors que x devient Il suffit donc d'effectuer l'étude sur } puis de faire intervenir la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. ( 0 sur D. ( 0 sur D. D'où le tableau : t 0 ( x' 2 + + 0 y' 0 + + 0 0 x 0 y 1 Branche infinie. Remarquons qu'au voisinage de , x et y sont équivalentes à . [...]

[...] ( 0 (' + 1 ( 0 Notons le cercle asymptote, centré à l'origine et de rayon ( est défini en tout réel non multiple relatif de est de période et invariant par la transformation de ( en La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. On peut limiter l'étude à , ( 0 sur D. Le tableau de variations s'obtient sans problèmes. ( - 0 (' + + ( e-2 0 e2 Pas de droite asymptote car Courbe difficilement représentable avec une échelle unique. Sur l'intervalle , le point est proche de l'origine ( ( ( 0,2 Sur l'intervalle ] , ( (7. [...]

[...] Le mobile ‘tombe' vers O en tournant. ( ) Etude de la branche infinie. Au voisinage de a pour limite 5. en On en déduit que la droite d'équation Y=5 dans le repère direct tournant d'origine O et de premier vecteur u0=e1 est asymptote à la courbe étudiée On exclura les valeurs de ( telles que . Le rayon polaire étant fonction paire de ( et de période on pourra limiter l'étude à l'ensemble On complétera ensuite le tracé obtenu en faisant agir la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. [...]