La continuité

Résumé du document

Cours de mathématiques sur la continuité destiné particulièrement aux élèves des classes préparatoires. Le cours en lui-même est réalisé en une dizaine de pages. Il est ensuite illustré par un ensemble d'exercices avec leur correction permettant ainsi de mettre en application le cours. Document de 8700 mots au format Word.

Extraits

[...] Il existe donc bien un couple de points de la courbe C réalisant la contrainte 19. Pour tout entier n non nul notons gn la fonction définie sur par gn(x)=f(x)-xn Cette fonction est continue en tant que différence de deux fonctions continues sur I. Or est positif et est négatif puisque f est à valeurs dans Il existe donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, un point au moins où gn s'annule. Ce point est en fait unique car gn est strictement décroissante sur I comme somme de deux fonctions strictement décroissantes. [...]

[...] Raisonnons par l'absurde et soit x tel que ( f(a). _ L'élément x ne peut appartenir à sinon, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait au moins un réel c de tel que ( puisque serait comprise entre et f(b).). L'égalité = serait alors contraire à l'injectivité de f. _ De même x ne peut être strictement plus grand que car il existerait un c entre b et x tel que f(a). On a donc bien établi l'implication mentionnée plus haut. [...]

[...] Rappelons les définitions générales énoncées à ce propos. Une fonction f définie sur une partie I de R et à valeurs réelles est dite continue au réel x0 si et seulement . Si f est continue en tout point de l'ensemble on dira que f est continue sur I Exemples, contre-exemples. On a établi sans problèmes que les fonctions polynômes, les rationnelles, les fonctions sinus, cosinus, tangente, la fonction logarithme Népérien, l'exponentielle et les puissances de base quelconque sont continues en tout point de leur ensemble de définition. [...]

[...] Les contre-exemples sont nombreux ! On peut par exemple obtenir la fonction g identiquement nulle à partir de f ne prenant exclusivement que l'une des deux valeurs 0 ou 1 sans être constante. Une telle fonction ne satisfait pas à la propriété des valeurs intermédiaires et ne peut donc être continue sur R entier. Par exemple f nulle sur et égale à 1 sur sera discontinue à l'origine. Le procédé de définition de g montre que pour tout réel x fixé, est une des solutions de l'équation du second degré d'inconnue X : La demi somme de ces deux racines (point milieu) est égale à Sous l'hypothèse supplémentaire que f ne prend que des valeurs supérieures à , f est nécessairement définie sur R entier par la seule formule : f sera donc continue sur R d'après la continuité de de la fonction racine carrée et grâce aux théorèmes classiques de la théorie (compositions, sommes, produits de fonctions continues. [...]

[...] Cette équation équivaut à f(x)-y=0. En remplaçant f par la différence g=f-y , on se ramène donc à une équation standard du type avec g toujours continue sur (différence entre f continue sur cet intervalle et la fonction constante de valeur et telle que les images de g aux bornes a et b de l'intervalle soient de signe contraire. ( ceci venant de la condition : y intermédiaire entre et f(b)' ) Quitte enfin à remplacer éventuellement g par , on pourra toujours se ramener au cas où sera négatif ou nul et positif ou nul. [...]