Division euclidienne dans N et Z et congruences

Résumé du document

Cours de terminale scientifique, spécialité mathématiques. Définitions, théorèmes, exemples. Tout y est clairement expliqué, et nous permet ainsi de comprendre aussi bien les divisions euclidiennes, que les congruences. Vraiment idéal pour réviser le baccalauréat.

Extraits

[...] a est congru à b modulo n si et seulement si a-b est un multiple de n. On note a b mod n ou a b Congruences dans Z : a b c'est-à-dire qu'il existe k Z tel que a-b = kn ou a-b 0 a b c'est-à-dire qu'il existe k Z tel que a = b + kn Exemples : 101 3 Oui car 101-3=98 et 98=14 x 7 c'est-à-dire k = 14 99 2 Non car 99-2=97 et 97=k x 5 mais k n'appartient pas à Z Propriétés : Pour tout n Pour tout a Z a a Pour tout a b Z a b équivaut à b a Pour tout a b Z et c Z a b et b c alors a c (transitivité) a b équivaut à a et b ont le même reste dans le division euclidienne par n Pour n m et a', b' et c des entiers a b et a' b' alors a+a' b+b' a b et a' b' alors a x a' b x b' a b alors a m bm a b alors ac bc Exemples : 15 1 donc 1 1 [...]

[...] Exemples : 26 = 4 x 6 et 0 2 3 et 4>2. effectue un division euclidienne : -le dividende est 53 -le reste est 5 Quels peuvent être le diviseur et le quotient ? a = bq + r et 0 r [...]

[...] + x1x10 + x0 (base 10) n xi appartient a x = xi 10i ni i=0 Exemples : Critère de divisibilité par 1 donc 10i 1i 1 Donc xi10i xi x 1 xi x0 x0 x110 x1 x2102 x2 . xn10n xn c'est a dire x x0 + x1 + x2 + + xn équivaut à x 0 c'est-à-dire x0 + x1 + x2 + + xn 0 Donc (x0 + x1 + x2 + + xn) Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. [...]

[...] Division euclidienne dans N Lemme d'Archimède : a un entier naturel b un entier naturel non nul alors il existe au moins un entier naturel n tel que nb > a. Théorème et Définition : Pour tout a entier naturel et b entier naturel non nul, il existe un couple d'entiers naturels tel que bq + r et 0 [...]