Les applications linéaires

Résumé du document

Cours de mathématiques s'adressant aux élèves des classes préparatoires HEC. Il comprend le cours en entier avec les définitions, les propriétés et les théorèmes ainsi que quelques astuces pour vous aider à aller plus vite dans la résolution des problèmes, et spécifiquement dans le domaine de l'algèbre linéaire.

Extraits

[...] Si on connaît de plus dim (Im f ) :Il sera aisé ( ) de trouver une base de Im ) : On peut aussi déterminer Im ) en prenant un vecteur ! de F (espace d' y arrivée) et en cherchant des conditions sur ! (et donc sur ces coordonnées) pour avoir ! 2 Im ) : y y On écrit alors: que doit véri er ! pour qu' existe ! 2 E tel que ! [...]

[...] Soit f 2 L (R2 ) dé ni par f (e1 ) = e1 + 2e2 et f (e2 ) = base canonique de R2 : On pose e01 = et e02 = e1 e1 + e2 où B = (e1 ; e2 ) est la e2 Exprimer la matrice de f dans la base B puis dans la base B0 : 6 IV. Compléments: rang d' matrice une Soit A une matrice carrée d' ordre On peut associer à A l' endomorphisme f de Rn tel que A = M atr ) B où B est la base canonique de Rn : Def : On appelle rang de la matrice le rang de l' endomorphisme On note rg = rg ) On sait que le rang de f est la dimension de Im ) et que Im ) est engendré par l' image d' une base. [...]

[...] s' u v écrit matricellement M U = V M est appelée matrice de f relativement aux bases canoniques de R3 et R2 : Exemple: Considérons l' application linéaire f : Rq: la matrice M s' obtient ici (ce sera exceptionnel) ligne par ligne: les coe¢ cients se lisent dans l' expression de 2. Représentation matricielle a. Représentation matricielle d' vecteur un Soit E un espace vectoriel de dim. n et B = (e1 ; e2 ; : : : ; en ) une base de0 A 1 vecteur tout x1 B x2 C C ! de E de coordonnées ; x ; : : : ; x ) dans la base on associe X = B x B . n . [...]

[...] dans la base x b. Matrice associée à une application linéaire dans des bases Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie tels que: B = (e1 ; e2 ; : : : ; ep ) est une base de E (dim E = C = ; ; : : : ; ) est une base de F (dim F = En n f 2 L F ) c-à-d que f est une application linéaire de E vers On appelle matrice de f relativement aux bases B et la matrice A = (aij où pour tout 1 j p : f (ej ) = n X i=1 Dé nition : i n 1 j p aij : On note A = M atr ) : B;C 2 Autrement dit, la j ieme colonne de A est le vecteur colonne associé à f (ej ) écrit dans la base d' arrivée C. [...]

[...] Isomorphisme entre et Mnp Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie, dim E = p et dim F = Soit B et C deux bases respectives de E et F L' application : L F ) ! Mnp est un isomorphisme de R f 7 ! M atr ) B;C Théorème: Ainsi dim L F ) = np = dim : dim ) En particulier, on M atr + = M atr ) + M atr B;C B;C B;C (c' la linéarité de est ) 3. Propriétés a. [...]