Applications de la dérivation

Résumé du document

Ce cours (au format Word) vous aidera à comprendre le chapitre "Applications de la dérivation" au programme de l'année de première scientifique. Celui-ci est illustré par des exemples pour bien le comprendre.

Extraits

[...] Sur cet intervalle, f est strictement décroissante. De plus, et sont de signes contraires, donc l'équation = 0 admet dans ; une unique solution, notée α [...]

[...] Minorant et majorant Définition : Soit f une fonction et soit D une partie de son ensemble de définition. * un réel m est un minorant de f sur D si pour tout x de m * un réel M est un majorant de f sur D si pour tout x de M * une fonction qui est à la fois majorée et minorée sur D est dite bornée sur D. exemple : = x2 ( sur R (l'ensemble des réels) est un minorant de f et f n'a pas de majorant. [...]

[...] Applications de la dérivation I ) Dérivation et monotonie 1. Dérivation d'une fonction monotone Théorème : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. * si f est constante sur alors pour tout x de f'(x) = 0 * si f est strictement croissante sur alors pour tout x de f'(x) 0 * si f est strictement décroissante sur alors pour tout x de f'(x) Principe de Lagrange Théorème : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. [...]

[...] Posons = x2 2x donc = x(x Les racines de sont 0 et 2. Tableau de signe de f'(x) : On applique le principe de Lagrange. On construit le tableau de variation de f : f est strictement croissante sur ] ; et ; + [ et elle est strictement décroissante sur les intervalles ; et ; II ) Dérivation et extremum 1. Extremum local Définition : Soit f une fonction définie sur l'intervalle I et soit c un réel de I. [...]

[...] Soit c un réel de I. f admet en c un extremum local si la fonction dérivée f' s'annule en c en changeant de signe Exemple = 4x3 2x2 5x 4 D = R Df = Df ' = R Pour tout x réel f'(x) = 12x2 4x 5 On cherche les racines de f'(x) = 256 = 162 x' = x'' = On construit le tableau de variation de f : * sur ] ; : f est dérivable f s'annule en en changeant de signe, du + au donc la fonction f admet en un maximum local. [...]