Les suites mathématiques

Résumé du document

Cours sur les suites mathématiques : définition, exemples et méthode.

Extraits

[...] Remarque : on dit qu'une suite est stationnaire si elle est constante Suites périodiques Définition Une suite est périodique si il existe un entier naturel k non nul tel que pour tout entier naturel un+k = un Remarque : la période appartient à ; si un = sin n n'est pas une période pour (un). II.Suites Arithmétiques 1. Définition Définition : Une suite est arithmétique si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel un+1 = un + r. r est appelé raison de la suite Calcul de un Théorème : Si est une suite arithmétique de raison alors pour tous les entiers naturels n et on a : un = u0 + nr et un = up + - r. [...]

[...] Remarques : Une suite croissante, une suite décroissante sont dites monotones. Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes. Exemple : La suite définie par un = est une suite ni croissante, ni décroissante. Méthode : Pour étudier le sens de variation d'une suite on étudie le signe de la différence un+1 - un. Si tous les un sont strictement positifs, on compare et 1. Exemple 1 : Soit la suite définie pour tout entier naturel n par : . Etudier le sens de variation de la suite (un). [...]

[...] Suites géométriques 1. Définition Définition : Une suite est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel un+1 = q un. q est appelé raison de la suite Calcul de un Théorème : Si est une suite géométrique de raison alors pour tous les entiers naturels n et p : un = u0 qn et un = up qn-p Démonstration : Remarques : la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde; si un = b an, alors est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 = b Somme des n premiers termes Cas particulier : La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme 1 est égale à Démonstration : Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q S = 1 + q + + . [...]

[...] Démonstration : Les n premiers termes de la suite géométrique sont u0; u1 = qu0; u2 = . ; un-3 = qn-3u0; un-2 = n-2u0 et un-1 = n-1u0. Donc : S = u0 + u1 + u2 + . + un-3 + un-2 + un-1 S = u0 + qu0 + q²u0 + . + qn-3u0 + qn-2u0 + qn-1u0 S = u0(1 + q + + . + qn-3 + qn-2 + qn-1) Or, on a vu que 1 + q + + . [...]

[...] + un-2 + un-1 = n u Sens de variation IV. Comportement à l'infini 1. Convergence vers l Les suites de terme général an avec [...]