La résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients dans C

Résumé du document

On appelle équation différentielle du premier ordre une équation du type y'(t) = a(t).y(t) + b(t), où a et b sont des fonctions continues de t à valeurs dans C.
Pour que cette équation ait des solutions sur un intervalle U, il faut avant tout que la fonction y soit dérivable sur U (...)

Extraits

[...] Les solutions de cette équation sont alors les fonctions = + λ , où A est la primitive de la fonction a. Remarque : on a en fait la somme de la solution particulière de notre système et de la solution de l'équation homogène associée. Trouver une solution particulière : la méthode de Lagrange : Reprenons l'équation précédente. Soit et A une primitive de a. La fonction f qui à t associe est une solution particulière de notre équation. Cette formule du cas général peut paraitre lourde à retenir et il est donc préférable de savoir comment retrouver une solution particulière en live dans chaque problème. [...]

[...] tel que = μ En prenant μ = 0 et en remplaçant ensuite h par son expression dans = on trouve bien le résultat escompté. Cas de la solution non-générale : Il arrive que la solution recherchée ne soit pas la solution générale du système mais une solution particulière de celui-ci. Dans ce cas, il nous est fourni une condition initiale du type ) = . Il nous suffit alors à l'aide de cette condition de trouver la valeur du λ dans la solution de l'équation homogène. [...]

[...] Résolution d'une équation homogène : Théorème : Soit l'équation différentielle homogène y'(t) = avec a une fonction continue de t à valeurs dans C. La solution générale de ce système est = λ , où A est la primitive de la fonction a et où λ parcourt C. Résolution d'une équation différentielle du premier ordre avec une solution particulière : Soit une équation différentielle du premier ordre : y'(t) = a(t).y(t) + où a et b sont des fonctions continues de t à valeurs dans C. [...]