Cours de Mathématiques : les relations

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les relations illustré de schémas, tableaux et exemples. Pour parfaire votre connaissance du cours, des exercices accompagnent chacune des parties.

Extraits

[...] Le diagramme Cartésien : On dessine d'abord le diagramme cartésien de A x B puis on noircit les - cases représentant les couples de ℛ. La Matrice de la Relation : Chaque case blanche du diagramme Cartésien est remplacée par un 0 - (zéro), et chaque case noircie est remplacée par un 1. [...]

[...] Le Diagramme Sagittal a 4 e u i o Le Diagramme Cartésien a e i o La Matrice u Page SEPTIEME PARTIE - LES RELATIONS La notion de Relation peut s'étendre à un nombre quelconque d'ensembles : On appelle Relation n-aire entre les ensembles A1, A An, une partie quelconque de leur produit A1 x A2 x An Une Relation qui porte sur deux ensemble est une Relation binaire, sur trois ensembles, une Relation ternaire, etc Propriété des Relations Binaires On appelle Relation sur une relation liant un ensemble A à lui même. [...]

[...] SEPTIEME PARTIE - LES RELATIONS LES RELATIONS Il existe en mathématiques, des relations du type : plus petit que est perpendiculaire à est un sous-ensemble de Ces relations font référence à l'existence ou non, d'un lien entre deux objets pris dans un ordre précis. Produits d'Ensembles Rappel : Soient A et B deux ensembles quelconques, on appelle Produit Cartésien, ou Produit de A x l'ensemble de toutes les paires ordonnées , pour lesquelles a et b B A x B = { , a et b B Exemple : SI A = { , et B = { ( ) les éléments de A x B sont les 6 couples : , , , , , , , , , , les éléments de B x A sont les 6 couples : ( , ( , ( , ( , ( , les éléments de A x A = A2 sont les 4 couples : , , , , , , , les éléments de A x B sont des éléments de B x A Relation Binaire Soient A et B deux ensembles quelconques, on appelle Relation Binaire, notée ℛ, le sous-ensemble de A x B constitué de 4 couples , tels que l'élément a est lié à l'élément b par la relation ℛ. [...]

[...] On la note : a ℛ b Exemple : Soient A = (œuf, lait, blé) et B = (vaches, chèvres, poules) : On définit par exemple une relation ℛ entre A et B par , ℛ : si a est produit par b a ℛ b = a est produit par b Le premier couple a ℛ ℛ = { (œuf, poules) , (lait, vaches) , (lait, chèvres) On dit alors que : (œuf ℛ poules) , (lait ℛvaches) , (lait ℛ chèvres) L'ensemble des couples , pour lesquels a Les relations ℛ1 et ℛ2 ℛ b , s'appelle le Graphe de la Relation ℛ sont égales quand elles ont le même Graphe : On écrit ℛ1 = ℛ2 Exemple : A = { } et B = { a , e , i , o , u } Soit ℛ la relation a ℛ a et b B : lorsque b est utilisé pour écrire avec des lettres le nom de a ainsi pour écrire le chiffre 1 on utilise la lettre u et donc 1 ℛ u ℛ e ℛ u . etc Page 1 SEPTIEME PARTIE - LES RELATIONS Pour représenter une Relation entre Ensembles finis, ils existe 3 représentations graphiques : Le diagramme Sagittal : Les éléments des ensembles sont représentés par des points ( sommets du - diagramme), et les liens, par des flèches de a vers b si a ℛ b. [...]