Suites numériques et raisonnement par récurrence : formulaire

Résumé du document

Formulaire de mathématiques relatif aux suites numériques ainsi qu'au raisonnement par récurrence. Il reprend les définitions et propriétés indispensables.

Extraits

[...] Suites numériques et raisonnement par récurrence Sens de variation : pour tout Si alors la suite est croissante Si alors la suite est décroissante Si alors la suite est stationnaire Si la suite est positive, étudier sa monotonie revient à comparer : et 1 Si alors la suite est croissante Si alors la suite est décroissante Si alors la suite est stationnaire Convergence : pour tout La suite est convergente si et seulement si et seulement ssi : Une suite non convergente, diverge : - Suite tendant vers - Suite n'ayant pas de limite ( ) R.O.C : ssi : Pour tout , aussi petit soit-il, il existe un entier, N (ou n0) au-delà duquel tous les termes Un sont dans R.O.C : ssi : Quel que soit le réel aussi grand soit-il, il existe un entier, N (ou n0) au-delà duquel tous les termes Un vérifient : Suites arithmétiques : pour tout La suite est arithmétique de raison ssi : Si alors, la suite est arithmétique de raison . Sens de variation : Si alors la suite est croissante Si alors la suite est décroissante Si alors la suite est stationnaire Convergence : Si alors Si alors Si alors Somme : Suites géométriques : pour tout La suite est géométrique de raison ssi : Si alors, la suite est géométrique de raison . [...]

[...] Sens de variation : Convergence : Si alors Si alors Si alors Si alors Somme : Suites bornées : pour tout La suite est majorée par un réel ssi : La suite est minorée par un réel ssi : La suite est bornée, ssi : Suites bornées : pour tout Si et Alors : Si et Alors : Si et Alors : Théorème de convergence : pour tout Toute suite croissante et majorée converge Toute suite décroissante et minorée converge Toute suite croissante et non majorée diverge vers Toute suite décroissante et non minorée diverge vers Raisonnement par récurrence : pour tout Il s'agit de démonter qu'une propriété P est vraie pour tout (ou , ou une partie démarrant à n0) : on la note P(n). Pour démontrer pour tout , on raisonne sur 3 étapes : Étape d'initialisation : (ou On vérifie que la propriété P est vraie pour n=0 (ou Étape de l'Hypothèse de Récurrence :(H.R.) On suppose que, pour un entier la propriété est vraie, c'est-à- dire P(n). [...]