Les normes en Mathématiques

Résumé du document

Fiche résumé de cours de Mathématiques de niveau Maths SUP sur les normes. Ce document résume toutes les propriétés essentielles des normes.

Extraits

[...] Normes equivalents On pose K = R ou K = C. HYPOTHES ES E est un K‐espace vectoriel. N1 et N 2 sont deux NORMES de E. On dit que les deux normes N1 et N 2 sont des normes équivalentes s'il existe deux constantes STRICTEMENT POSITIVES a et b telles que " u ÎE : a .N1 ) N2 ) b .N1 ) . r r r r *SI E est un K‐espace vectoriel de DIMENSION FINIE, ALORS toutes les normes sur E sont équivalentes Boules ouvertes, boules fermées HYPOTHESES ( E , ) est un K‐ESPACE VECTORIEL NORME. [...]

[...] p On considère pour tout nÎN : u n = ( xn xn xnp ) un vecteur de R . p On note a = a a p ) un vecteur de R . r r On a alors l'équivalence suivante : p La suite de R (un 0 converge vers a Û "kÎ{ la suite ( xnk ) 0 converge vers ak . n r r *Toute suite convergente d'un K‐espace vectoriel normé ( E , ) est alors borne. [...]

[...] Les espaces vectoriels normés ( E , N1 ) et ( E , N 2 ) ont les mêmes parties fermées. Parties bornées HYPOTHESES ( E , ) est un K‐ESPACE VECTORIEL NORME. r ) s'il existe r > 0 tel que " u ÎP : On dit qu'une partie P de E est une partie bornée de ( E , Cela revient à dire que l'ensemble { u , u Î P } est borné. r r u r . [...]

[...] est une NORME sur E. L'application d : E 2 + définie par u , v )Î E 2 : d , v ) = u - v s'appelle la distance associée à la [ norme . r r r r r r Les normes classiques sur R n n Les normes classiques sur R sont les normes n Pour tout vecteur u = ( x x xn ) de R : et définies par : r u 1 = r n å xk ; u r n = 2 k = å xk ; u r = max ( xk k n ) . [...]

[...] Les normes Définition d'une norme HYPOTHESES On pose K = R ou K = C. E est un K‐espace vectoriel. On dit qu'une application u ÎE : u r r : E est une norme sur E si l'on a : u ÎE et "lÎK : l .u = l . u . c)Pour tout u ÎE on a : u = 0 Û u = o . u , v )Î E 2 : u + v u + v (Inégalité triangulaire). [...]