Les normes en Mathématiques

Nicolas B.

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Les normes en Mathématiques

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Fiche résumé de cours de Mathématiques de niveau Maths SUP sur les normes. Ce document résume toutes les propriétés essentielles des normes.

Sommaire

I) Définition d'une norme
II) Définition d'un espace vectoriel normé
III) Distance associée à une norme
IV) Les normes classiques sur Rn
V) Normes issues d'un produit scalaire
VI) Normes équivalentes
VII) Boules ouvertes, boules fermées
VIII) Parties ouvertes, parties fermées
IX) Parties fermées
X) Convergence d'une suite d'un K-ev normé
XI) Deux propriétés sur les suites de E

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Extraits

[...] Normes equivalents On pose K = R ou K = C. HYPOTHES ES E est un K‐espace vectoriel. N1 et N 2 sont deux NORMES de E. On dit que les deux normes N1 et N 2 sont des normes équivalentes s'il existe deux constantes STRICTEMENT POSITIVES a et b telles que " u ÎE : a .N1 ) N2 ) b .N1 ) . r r r r *SI E est un K‐espace vectoriel de DIMENSION FINIE, ALORS toutes les normes sur E sont équivalentes Boules ouvertes, boules fermées HYPOTHESES ( E , ) est un K‐ESPACE VECTORIEL NORME. [...]

[...] p On considère pour tout nÎN : u n = ( xn xn xnp ) un vecteur de R . p On note a = a a p ) un vecteur de R . r r On a alors l'équivalence suivante : p La suite de R (un 0 converge vers a Û "kÎ{ la suite ( xnk ) 0 converge vers ak . n r r *Toute suite convergente d'un K‐espace vectoriel normé ( E , ) est alors borne. [...]

[...] Les espaces vectoriels normés ( E , N1 ) et ( E , N 2 ) ont les mêmes parties fermées. Parties bornées HYPOTHESES ( E , ) est un K‐ESPACE VECTORIEL NORME. r ) s'il existe r > 0 tel que " u ÎP : On dit qu'une partie P de E est une partie bornée de ( E , Cela revient à dire que l'ensemble { u , u Î P } est borné. r r u r . [...]

[...] est une NORME sur E. L'application d : E 2 + définie par u , v )Î E 2 : d , v ) = u - v s'appelle la distance associée à la [ norme . r r r r r r Les normes classiques sur R n n Les normes classiques sur R sont les normes n Pour tout vecteur u = ( x x xn ) de R : et définies par : r u 1 = r n å xk ; u r n = 2 k = å xk ; u r = max ( xk k n ) . [...]

[...] Les normes Définition d'une norme HYPOTHESES On pose K = R ou K = C. E est un K‐espace vectoriel. On dit qu'une application u ÎE : u r r : E est une norme sur E si l'on a : u ÎE et "lÎK : l .u = l . u . c)Pour tout u ÎE on a : u = 0 Û u = o . u , v )Î E 2 : u + v u + v (Inégalité triangulaire). [...]

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