Les nombres complexes - publié le 17/08/2007

Résumé du document

10 problèmes sur les nombres complexes, accompagnés de leur corrigés détaillés.

Extraits

[...] On note D l'image du point E par la rotation de centre 0 et d'angle point D Soit C' l'image de C par f. Donner l'affixe du point C' sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique Calculer l'affixe d du point D ayant pour image par f le point D' d'affixe = π Donner l'affixe du 3. Pour tout nombre complexe z différent de on note ρ le module de z+1 et module de z'+i. a. Démontrer que, pour tout z différent de on a : ρ ρ ' = ρ ' le g. [...]

[...] On pose z = x + iy . Ecrire f ) sous forme algébrique. En déduire l'ensemble des points M d'affixe z tels que f ) soit réel. Dessiner cet ensemble sur une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice On pose = f ( z ) a. Vérifier que i n'a pas d'antécédent par f et exprimer, pour différent de z en fonction de . b. Soit M le point d'affixe z (différent de et M' celui d'affixe (différent de i). [...]

[...] Ainsi on a AM, BM = [π ] , ce qui prouve que le point M appartient au cercle de 2 diamètre privé de A et B. Ceci constitue l'ensemble recherché On cherche d tel que : = On a donc : 1 2 avec = . d + 2i ) + = soit ( + i = et donc d = = + 2i 1+4 c. On veut vérifier que le point D appartient aux ensembles et ( Γ Or : AD = d a = + 2i + 1 = 2i = donc D appartient à Γ . [...]

[...] Prouvons que les droites et sont perpendiculaires. Pour cela il suffit de calculer l'angle ( AB, CD) en utilisant un argument. En effet, on a la formule très important suivante : ( AB, CD) = arg( zD zC π + 4 2 + 2i 2 ) = arg( ) = arg( ) = arg(i ) = [2π ] zB z A i i 2i 2 Les droites et sont donc bien perpendiculaires. IB = zB zI = 1 i 3 = 2 i = 4 + 1 = 5 IC = z C z I = 2 2i 3 = 1 2i = 1 + 4 = 5 On a donc IA = IB = IC = ce qui permet de prouver que les points B et C appartiennent au même cercle de centre I et de rayon d. [...]

[...] En déduire dn en fonction de pour tout entier naturel. b. En utilisant la question 2.d, montrer que la suite ( α n ) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme. En déduire α n en fonction de pour tout entier Soit la suite ( Sn ) définie pour tout entier naturel n par : Sn = k dk n = d0 + d1 + . + dn . Exprimer Sn en fonction de n. La suite est-elle convergente ? [...]