Résumé du cours de Maths Spé (MP)

Résumé du document

Cours condensé de Mathématiques (Maths Spé) couvrant le programme de la filière MP tout entier aidant à assimiler les enjeux du programme dans sa totalité. Ainsi, il est recommandé pour la période de préparation aux concours des grandes écoles scientifiques ainsi que pour les étudiants préparant un DEUG.

Extraits

[...] Théorème de Cayley-Hamilton : Xu = 0 : Le polynôme minimal de u divise le polynôme caractéristique de u Réduction en dimension nie : Endomorphisme diagonalisable : u 2 L est dit diagonalisable lorsque l'une des conditions équivalentes est réalisée : E admet Lune base formée de vecteurs propres de E : 2Sp(u) dim E = X dim : 2Sp(u) Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. Matrice diagonalisable : M 2 Mn est dite diagonalisable s'elle est semblable dans Mn à une matrice diagonale. M 2 Mn est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme de Kn canoniquement associé est diagonalisable. Théorèmes de diagonalisation : 1. u est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristiqueXu est scindé sur K et pour tout 2 Sp ; dim = m la mutiplicité de : 2. [...]

[...] Eviter aussi les écritures P qui n'a pas de sens : polynôme appliqué à un vecteur, ce qui est juste c'est : un endomorphisme appliqué à un vecteur. Décomposition des noyaux : Soit u 2 L et P = P1 P2 où P1 ; Pm sont des polynômes de premiers entre eux deux à deux, alors : ker P = m L ker Pi i=1 Si de plus P = on aura : E = m L i=1 ker Pi : ( c'est le cas où P = Xu ou P = u ) Iu l'ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de lorsqu'il est non nul il est engendré un unique polynôme unitaire u dit le polynôme minimal de En dimension nie dim = deg u u existe toujours. [...]

[...] F fermé si son complémentaire est ouvert. ( Ouvert n'est le contraire de fermé : il y'a des parties ni ouvertes ni fermées et d'autres ouvertes et fermées) F fermé ssi pour toute suite (xn d'élément de F convertgente vers l 2 on a l 2 F F fermé (respectivementt O ouvert) ssi il est image réciproque par une application continue (partant de d'un fermé ( respectivement d'un ouvert) Adhérence et intérieur : x 2 A si 8 r > B \ A ? [...]

[...] n Exemple classique : un = 1 + + + 2 n à une somme en considérant ln (un ) : ln n ou encore un = n!e X Critère de Cauchy dans un Banach : n 0 jj n+p X k=p+1 uk jj 1 n 2 n dans le second cas on se ramène un converge ssi 8 " > 9 N 2 8 p 8 n 2 " Convergence absolue : C'est la convergence de X n 0 kun k : La convergence absolue entraine la convergence ( E est ici de Banach). La réciproque est fausse, on parle de semi-convergence. [...]

[...] Utilisation de primitive : On suppose ici a 2 R , b 2 f+1g et f 2 C 0 M ; ) positive sur ; alors : f intégrable sur ssi lim x!b Rx a f dt existe. Dans ce cas Rb a f dt = lim x!b L'hypothèse de positivité est nécessaire pour le retour : voir l'exemple classique de t 7 ! Rx a f dt sin sur : t Dans le cas non réel ou complexe : f 2 C 0 M ; ; on a uniquement : f intégrable sur lim x!b Rx a f dt existe. [...]