La morphologie mathématique

Résumé du document

La morphologie mathématique est une théorie de traitement non linéaire de l'information apparue en France dans les années 60 (G. Matheron & J. Serra, Ecole des Mines de Paris), et qui est aujourd'hui très largement utilisée en analyse d'images.

Contrairement au traitement linéaire des images, la morphologie mathématique ne s'appuie pas sur le traitement du signal, mais repose sur la théorie des ensembles, ce qui en fait une discipline relativement « auto-contenue » et formant un tout cohérent.

L'objectif de ce cours est de fournir les bases, mais aussi de présenter les techniques les plus récentes du traitement morphologique des images. On s'efforcera de préserver un équilibre entre les concepts et les algorithmes, en développant autant que possible les problèmes d'implantation numérique posés.
Le cours s'accompagne d'exercices pour se familiariser avec les manipulations algébriques ou géométriques, et pour développer certains aspects du cours.

Des travaux pratiques permettront enfin, d'une part d'expérimenter les outils étudiés en cours, et d'autre part, de s'immerger profondément dans les aspects algorithmiques, en programmant soi-même des fonctions morphologiques de traitement d'images.

Extraits

[...] On note : et son dual : C'est le dilaté de Y par le transposé de REPONSE : Propriétés algébriques des ouvertures et fermetures CROISSANCE EXTENSIVITE L'ouverture est anti-extensive : La fermeture est extensive : dém: Dans la propriété d'adjonction : donne donne et IDEMPOTENCE dém: donc et donc et donc PROPRIETE MIN/MAX Soient x', et y tels que : et alors Ouvertures et fermetures : ensembles et fonctions C'est le lieu géométrique des points de Bz tels que Bz est inclus dans X Ouvertures et fermetures : images binaires l'ouverture élimine les petites composantes, et ouvre les petits isthmes. la fermeture bouche les petits trous, et ferme les petits détroits. [...]

[...] Dilatation et érosion sont des opérations duales, pas inverses complémentation dilatation Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel On se place à présent dans le cadre des fonctions : La dilatation et l'érosion fonctionnelles sont respectivement définies par : fonction structurante à support compact Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel A toute fonction f on associe son sous-graphe : Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel Interprétation ensembliste : fonctionnel ensembliste Cas des éléments structurants plans Élément structurant plan = fonction structurante nulle sur un support compact K L'expression algébrique des opérateurs de base devient : ex: Propriétés des opérateurs de base dans le cadre fonctionnel Identiques au cas ensembliste, en remplaçant : Supp(g) = support de g MAX Application aux images numériques Le treillis est l'ensemble des fonctions de Z2 dans Z élément structurant plan ensemble MIN Premiers opérateurs par différence Opérateur par différence : Cas ensembliste Cas fonctionnel Gradient extérieur Gradient intérieur Premiers opérateurs par différence Rq : dans le cas de fonctions de R2 dans en prenant pour élément structurant une boule euclidienne centrée sur l'origine, le gradient morphologique et le laplacien morphologique tendent respectivement vers le module du gradient et le laplacien euclidiens lorsqu'ils sont définis, quand le rayon de la boule tend vers zéro : Laplacien morphologique Gradient morphologique (symétrisée) Gradients et laplacien : images numériques Gradients et laplacien : images numériques Augmentation de contraste morphologique Le filtre rehausseur de contraste est défini par : g(f) = g(f) si (g(f)-f f-g(f)) erodé dilaté image originale image rehaussée Ouvertures et fermetures morphologiques Problème Min/Max : étant donné YE, BE, trouver le plus petit X E tel que : l'ouverture morphologique de X par B. la fermeture morphologique de X par B. [...]

[...] Plan du chapitre Introduction : approche morphologique du TI Opérateurs de base : dilatation et érosion Opérations ensemblistes Algorithmes Opérations fonctionnelles Premiers opérateurs composés Filtres de base : ouverture et fermeture Définitions et propriétés Seconds opérateurs composés Définitions algébriques Transformation Tout-ou-rien Quelques outils de bases Extraction de contours Remplissage de région Extraction des composantes connexes Amincisseur et épaississeur Squelettisation Ligne de partage des eaux Les problématiques du traitement d'images SCENE REELLE IMAGE NUMERIQUE ACQUISITION transformation de l'énergie lumineuse en énergie électrique CODAGE transformation d'une grandeur analogique en une grandeur numérique SEGMENTATION partition de l'image numérique en fonction d'un certain prédicat : luminance, texture, couleur, mouvement . EXTRACTION DE CARACTERISTIQUES calcul d'une ou plusieurs grandeurs scalaires : dénombrement, détection d'événements . transmission, stockage COMPRESSION changement de représentation de l'image numérique dans le but de réduire la quantité de mémoire nécessaire visualisation AMELIORATION diminution des effets du bruit d'acquisition, numérisation ou compression pour rendu visuel ou analyse vision artificielle L'approche morphologique du traitement d'images Objet de référence = Elément structurant Transformations non linéaires taille forme orientation connexité . / . [...]

[...] On appelle involution l'opérateur qui permet d'échanger leur rôle : On dit que deux opérateurs  et * sont duaux pour l'involution si : et Exemples d'involutions Treillis des formules booléennes NON logique : Treillis ensembliste Complémentaire : X S Xc = S \ X Treillis des nombres opposé : 0 x Treillis des fonctions dans f = N - f : N N Propriétés des opérateurs : quelques définitions Idempotence Croissance Extensivité Anti-extensivité Construction des opérateurs de la morphologie mathématique érosion, dilatation gradients ouvertures, fermetures top-hat laplacien maxima locaux reconstruction ligne de partage des eaux squelettes complexité, richesse des propriétés Construction de nouveaux opérateurs : par composition par différence Opérations de Minkowski dans Rn Définitions préliminaires On se place ici dans E : l'ensemble des parties de Rn Pour et on note le translaté de X par b. et on note le symétrique de X. [...]

[...] Critères de : Le principe de base de l'analyse morphologique est d'extraire de la connaissance de l'image à partir des réponses fournies à différents tests (transformations). L'approche morphologique du traitement d'images Exemple : Elément structurant 1 Test : « contient » Elément structurant 2 Taille, forme, orientation, Analyse quantitative, spatiale, ESPACE VECTORIEL Traitement d'images linéaire : structure fondamentale Dans le cas du traitement d'images linéaire, la structure fondamentale est celle d'espace vectoriel. structure de base E espace vectoriel sur K opérateurs de base Ce sont ceux qui préservent la structure et commutent avec les lois de base : Applications linéaires CONVOLUTIONS isomorphismes d'espace vectoriel Traitement linéaire : convolutions Gradient vertical - Filtre passe-bas TREILLIS COMPLET Morphologie mathématique : structure fondamentale Dans le cas de la morphologie mathématique, la structure fondamentale est celle de treillis complet. [...]