La méthode des indivisibles au XVIIe siècle

Résumé du document

Euclide (-325, -265), tout d'abord, a approché des idées qui seront reprise dès la Renaissance avec sa théorie du continu et sa théorie des grandeurs. Dans ses Eléments (-300), il montre que la continuité d'une grandeur géométrique ne peut évidemment pas être épuisée par les nombres, c'est-à-dire par les entiers, ni même par l'ajout des fractions. C'est alors à cette époque qu'apparaissent les irrationnels, et leur prise en compte par la raison mathématicienne donne de nouveaux repères arithmétiques sur la droite géométrique. Ainsi, Euclide avance dans ce contexte sa théorie sur la continuité : une grandeur a peut toujours être considérée comme le multiple d'une unité E, ce qui revient à dire que les nombres ne sont pas des entités fixes, mais des repères indéfiniment variables seulement définis par leurs rapports entre eux. Cette considération que met au jour Euclide sera très importante dans la méthode des indivisibles,où il s'agira toujours d'évaluer des rapports de grandeurs.

Dès lors, mettre deux grandeurs en rapport, c'est dire que chacune d'elle peut être multipliée par une autre grandeur qui lui permette ainsi de surpasser la première avec laquelle elle est en rapport. Cela se note donc : si a < b, il est toujours possible que ma > b. C'est ce qu'on a, par ailleurs, appelé axiome d'Archimède. Cette extension implicite de la notion de nombre, mais par le biais de la géométrie, est assurée par un critère d'incommensurabilité, interne à l'ensemble des grandeurs. Précisons que deux quantités sont incommensurables si, quelle que soit la différence entre la plus grande et un multiple de la plus petite, elle n'égale jamais la différence définition de (...) comme le plus grand des nombres premiers, suivie d'une démonstration que (...) n'existe pas car il existe un nombre premier plus grand encore. Dans ses Eléments, il démontre que de trois nombres premiers distincts peut se déduire un quatrième. La démonstration se généralise immédiatement à toute énumération finie de nombres premiers. Il déduit alors que les nombres premiers sont en nombre plus important que toute quantité finie. l'infini mis en évidence par cette preuve est néanmoins un "infini potentiel", et pas un infini manipulable dans toutes les démonstrations comme le feront les mathématiciens du XVIIe avec la méthode des indivisibles ou plus tard avec le calcul infinitésimal.

Mais la plus grande contribution aujourd'hui attestée fut celle d'Archimède (-287, -212). En effet, il offre dans plusieurs de ses traités les premières méthodes rigoureuses pour des calculs d'aires ou de volumes (...)

Extraits

[...] Celui-ci, en effet, consid`re les e o e e indivisibles de toute surface selon une infinit´ de lignes, les indivisibles de tout volume selon une infinit´ de e e surfaces. [ . ] Mais notre m´thode, sans ˆtre ` l'abri de tout reproche, ´vite au moins celui-ci, comparer des e e a e h´t´rog`nes Sa m´thode aurait donc une sup´riorit´ sur celle de Cavalieri, ou du moins, elle ´chapperait ee e e e e e aux critiques, en ce que lui ne compare pas des indivisibles h´t´rog`nes. [...]

[...] e e ea Le milieu est compos´ d'une infinit´ de parties qu'il faut parcourir successivement les unes apr`s les autres, de e e e sorte que pour parcourir un pied de mati`re, nous dit Z´non, c'est-`-dire pour arriver du commencement du e e a premier pouce ` la fin du douzi`me pouce, il faudrait un temps infini, car les espaces qu'il faudrait parcourir a e successivement entre ces deux bornes sont infinis en nombre. On ne peut donc les parcourir que dans une infinit´ e de moments. Ainsi, Z´non en conclut que chaque partie du temps, tout comme chaque partie de la mati`re, ne e e peut ˆtre divisible ` l'infini. L'infini ne peut exister actuellement dans le monde, sinon aucun mobile ne pourrait e a se mouvoir, avancer d'un lieu ` un autre. Or, il y a bien du mouvement dans le monde, on ne peut le nier. [...]

[...] D'une part, que les corps sensibles ne peuvent e e ˆtre divisibles ` l'infini, mais d'autre part que les corps g´om´triques, eux, sont potentiellement divisibles ` e a e e a l'infini, en ce sens, ils ne peuvent ˆtre compos´s d'indivisibles. Penchons-nous sur les textes pour mieux come e Gautier Marti 21 La m´thode des indivisibles au XVIIe si`cle e e prendre. Aristote consid`re qu'on ne peut retirer ` un corps sensible une quantit´ infinie de quelque chose, sinon e a e il ne resterait rien du corps. Il y aurait donc bien une limite, quelque chose comme le plus petit possible et on ne peut passer au-del` de cette limite, sans tomber dans l'absurde et le n´ant. [...]

[...] e Donc BA 2r = A8 CG Gautier Marti 16 La m´thode des indivisibles au XVIIe si`cle e e Par la suite, on coupe le double sinus CN en 2. On obtient le sinus CE car E appartient ` diam`tre a e du cercle et car est perpendiculaire ` (AB). On a donc CE = CN . D`s lors : a e 2 CN/ CE = EF 2 E2 Or, on sait que Donc CE E2 = BA A8 = 2r CG 1 CE 1 2r r = = 2 E CG CG Donc CE r = EF CG Puis, Roberval nous demande de multiplier CG autant de fois que la ligne CD contient de divisions r autrement dit, apr`s cette op´ration, on peut remplacer CG par CD : On a donc CE = CD Maintenant, si on e e EF multiplie CE par EF , on obtient l'aire du rectangle EF DC, et on peut ´crire : e Aire(EF DC) r EF = EF CD Donc EF Aire(EF DC) = r EF CD Or, multiplier le rayon r par EF revient ` multiplier le plus grand sinus IY par EF , et donc ` exprimer l'aire a a du rectangle EF F E . [...]

[...] Il faut donc, pour les besoins du calcul, identifier des petites lignes e a ` des points. Il s'agit alors plus d'une mani`re de dire que d'une mani`re de calculer. Il faut accepter qu'` partir e e a du moment il est bien clair que les petites parties ne constituent pas vraiment des figures h´t´rog`nes, elles u ee e peuvent bien les repr´senter. Cette m´thode n'est d'ailleurs pas strictement caract´ristique de Roberval. Peu e e e avant lui, Simon Stevin (Hydrostatique, preuve par les nombres a eu recours ` des consid´rations assez a e proches. [...]