Le calcul matriciel

Résumé du document

Vocabulaire

Lorsque m = p, on dit que la matrice est carrée
Lorsque p = 1, on dit que la matrice est une matrice-ligne
Lorsque m = 1, on dit que la matrice est une matrice-colonne

Vocabulaire

Lorsque les coefficients de la matrice sont des nombres réels, on parle de matrice à coefficients réels
Par la suite, les coefficients des matrices considérées seront réels ou complexes
On désignera par K l'un ou l'autre corps R ou C
(...)

Extraits

[...] egles de calcul du eterminant. Action des transformations ´el´ementaires sur le d´eterminant. Proposition. Si on multiplie une ligne d'une matrice par α alors, on multiplie son d´eterminant par α. Proposition. Si on ´echange deux lignes d'une matrice, son d´eterminant se trouve multipli´e par Cons´ equence. Si une matrice poss`ede deux lignes ´egales, alors son d´eterminant est nul. Proposition. On ne change pas la valeur du d´eterminant d'une matrice, en ajoutant une ligne, une autre ligne multipli´ee par un nombre quelconque. [...]

[...] Soit A sa matrice. Les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : 1. Le syst`eme poss`ede une solution unique ; 2. La matrice A est inversible. emonstration. Si A est inversible, alors : X = B fournit une solution. Et il n'y en a pas d'autre. R´eciproquement, on admet . Exemple. Consid´erons le syst`eme : x2 + x3 = 1 x + x3 = 2 1 x1 + x2 = 3 1 On a : B = 2 , A = , = 12 D'o` u : 2 X = B = 1 La solution est (x1 = x2 = x3 = 0). [...]

[...] Soit A et B deux matrices carr´ees n lignes. Alors, on a : Det(AB) = Det(A)Det(B). Remarque. Soit A et B deux matrices carr´ees de mˆeme taille. En g´en´eral, Det(A + Det(A) + Det(B). 8. Application au calcul de l'inverse d'une matrice. efinitions. les notations introduites plus haut. Reprenons Soit A = αij une matrice carr´ee n lignes. La matrice Aij d´eduite de A en e`me enlevant la i ligne et la j e`me colonne est appell´ee mineur associ´e au coefficient αij . [...]

[...] Les calculs seraient plus longs. Mais ne pas oublier de lire l'´enonc´e . 6. efinition du eterminant d'une matrice. Soit A une matrice carr´ee n lignes. Si n = 1 et si A = pose Det(A) = α. Si n soit A = αij . D´esignons par Aij la matrice d´eduite de A en enlevant la ie`me ligne et la j e`me colonne. Nous posons alors, pour tout i entre 1 et n : n X det(A) = αij Det(Aij j=1 La quantit´e Det(A) est le d´eterminant de la matrice A. [...]

[...] k=1 Vocabulaire. Les matrices Im sont souvent appel´ees matrices unit´e. Remarque importante. Si A et B sont deux matrices carr´ees de mˆeme taille, les produits AB et BA sont d´efinis. Mais, ces deux matrices ne sont pas ´egales. efinition. Soit une matrice p lignes et m colonnes : A = (aij Posons, pour 1 i p et 1 j bji = aij . La matrice (bij ) est une matrice m lignes et p colonnes. Elle est appel´ee transpos´ee de la matrice A. [...]